2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新

第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第一章计数原理考点学习目标核心素养杨辉三角问题能认识杨辉三角，并能利用它写出(a＋b)n的指数不是很大时的展开式数学运算二项式系数和问题会用赋值法求展开式系数的和数学运算二项式系数的最大项问题能记住二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决相关问题数学运算问题导学预习教材P32～P35的内容，并思考下列问题：1.杨辉三角有哪些特点？2.二项式系数的性质有哪些？1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是___，与这两个1等距离的项的系数______.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的____，即____________________.1相等和Crn＋1＝Cr－1n＋Crn2.二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，…，Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：当kn＋12时，二项式系数是逐渐______的，由对称性知它的后半部分是逐渐______的，且在中间取到最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数_____取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn－12n，Cn+12n相等，且同时取到最大值.增大减小Cn2n(3)各二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.■名师点拨对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“Cmn＝Cn－mn”，基础是C0n＝Cnn＝1，然后从两端向中间靠拢，便有C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，….(2)最大值：①当n是偶数时，(a＋b)n的展开式共n＋1项，n＋1是奇数，这时展开式的形式是中间一项是第n2＋1项，它的二项式系数是Cn2n，它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，n＋1是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第n＋12，n＋32项，它们的二项式系数是Cn－12n，Cn+12n，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n源于(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnnbn中令a＝1，b＝1，即得到C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的．()(3)二项展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋Cnn.()×××关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数是非正数解析：选C．根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5次，所以是非正数.(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：选C．因为2n＋1是奇数，所以中间两项，即第n＋1，n＋2项二项式系数最大.(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64.答案：164(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________.解析：由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝C810·22＝180.答案：180(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行与杨辉三角有关的问题(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144B．146C．164D．461【解析】(1)由题意，第6行为1615201561，第7行为172135352171，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.【答案】(1)B(2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01，C11；第2行中的数是C02，C12，C22；第3行中的数是C03，C13，C23，C33；…；第n行中的数是C0n，C1n，C2n，…，Cnn.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34.答案：342.如图所示，满足①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)的第2个数是________.解析：由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n（n－1）2＋1.答案：n2－n＋22已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.二项式系数和问题【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tr＋1＝Cr5(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝1－352＝－121.[变问法]在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解：(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝1＋352＝122.(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.1.如果3x－13x2n的展开式中各项系数之和为128，那么n的值为()A．7B．8C．9D．10解析：选A．因为展开式中各项系数之和为128，所以令x＝1，得2n＝128，所以n＝7.2.若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是()A．－2B．－3C．125D．－131解析：选C．由题意可知a8＝(－2)7＝－128，令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＋a8＝－2，所以a1＋a2＋…＋a7＝125.故选C．已知二项式12＋2xn.(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.求二项展开式中系数或二项式系数的最大项【解】(1)由题意，得C4n＋C6n＝2C5n，所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C37×124×23＝352，T5的系数为C47×123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为C714×127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3432.(2)由题意知C0n＋C1n＋C2n＝79，解得n＝12或n＝－13(舍去).设展开式中第(r＋1)项的系数最大，由于12＋2x12＝1212·(1＋4x)12，则Cr12·4r≥Cr－112·4r－1，Cr12·4r≥Cr＋112·4r＋1，所以9.4≤r≤10.4.又r∈{0，1，2，…，12}，所以r＝10，所以系数最大的项为T11，且T11＝1212·C1012·(4x)10＝16896x10.(1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用Ar≥Ar－1，Ar≥Ar＋1，解出r，即得出系数最大的项．已知x＋2x2n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项.解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，所以n＝10.所以Tr＋1＝Cr10x10－r22rx－2r＝Cr102rx10－5r2，因为10－5r2∈Z且0≤r≤10，r∈N，所以r＝0，2，4，6，8，10.所以展开式中所有有理项的项数为6.(2)设第r＋1项的系数最大，则Cr102r≥Cr－1102r－1，Cr102r≥Cr＋1102r＋1，即2r≥111－r，110－r≥2r＋1.解得193≤r≤223.因为r∈N，所以r＝7.所以展开式中系数最大的项为T8＝C71027x－252＝15360x－252.1.x－1x11的展开式中二项式系数最大的项是()A．第6项B．第8项C．第5，6项D．第6，7项解析：选D．由n＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.2.已知x2＋1xn的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为()A．5B．10C．20D．40解析：选B．因为x2＋1xn的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以x2＋1x5的二项展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(x2)5－r