2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3

第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理第一章计数原理考点学习目标核心素养二项式定理的正用与逆用能利用计数原理证明二项式定理，理解二项式定理及二项展开式的特征，能记住二项式定理和二项展开式的通项公式数学抽象求二项展开式中的特定项或其系数正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数数学运算二项式定理的灵活应用能用二项式定理求解三项或三项以上的展开问题，能解决两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题数学运算问题导学预习教材P29～P31的内容，并思考下列问题：1.二项式定理的内容是什么？2.二项展开式中的通项公式是什么？3.二项式定理有什么结构特征？二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有什么区别？二项式定理二项式定理(a＋b)n＝_____________________________________________(n∈N*)二项展开式公式____________二项式系数______________________________二项展开式的通项Tk＋1＝_______________C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋CnnbnCkn(k∈{0，1，2，…，n})Cknan－kbk右边的式子■名师点拨通项中的注意点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项.(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置.(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题.(4)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问题.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()×××√x－1x16的二项展开式中，第4项是()A．C216x12B．C316x10C．－C316x10D．C416x8答案：Cx－1x5的展开式中含x3项的二项式系数为()A．－10B．10C．－5D．5答案：Dx2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40答案：C(1＋2x)5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________.答案：4010(1)用二项式定理展开1＋1x4；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).二项式定理的正用与逆用【解】(1)法一：1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.法二：1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4·(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1)＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.[注意]逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x4－1解析：选A．(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)3＋C44(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.已知x－2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：(1)n的值；(2)展开式中含x3的项.求二项展开式中的特定项或其系数【解】(1)因为T3＝C2n(x)n－2(－2x)2＝4C2nxn－62，T2＝C1n(x)n－1(－2x)＝－2C1nxn－32，依题意得4C2n＋2C1n＝162，所以2C2n＋C1n＝81，所以n2＝81，n＝9.(2)设第r＋1项含x3，则Tr＋1＝Cr9(x)9－r(－2x)r＝(－2)rCr9x9－3r2，所以9－3r2＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项，T2＝－2C19x3＝－18x3.1.[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项.解：因为Tr＋1＝(－2)rCr9x9－3r2，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第4项(－2)3C39＝－672.2.[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项.解：因为Tr＋1＝(－2)rCr9x9－3r2，若Tr＋1为有理项，当且仅当9－3r2为整数.因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们是T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－4032x3，T8＝－4608x6，T10＝－512x9.(1)求二项展开式特定项的步骤(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．1.二项式2x－1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数分别为________，________.解析：由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·－1xr＝26－rCr6·(－1)r·x3－3r2，所以T6＝－12·x－92.所以第6项的二项式系数为C56＝6，第6项的系数为C56·(－1)5·2＝－12.答案：6－122.x－1x9的展开式中x3的系数为________.解析：设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r.令9－2r＝3，得r＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84.答案：－843.二项式(2x－12x)6的展开式中的常数项为________.解析：Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r12xr＝(－1)rCr626－r12rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以T4＝(－1)3C36＝－20.答案：－20角度一：二项展开式积的特定项问题(1)(2019·兰州高二检测)2x＋x(1－x)4的展开式中x的系数是()A．1B．2C．3D．12(2)(2019·宁波高二检测)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a＝________.二项式定理的灵活应用【解析】(1)根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1－x)4展开式中的常数项乘2x＋x中的x以及(1－x)4展开式中的含x2的项乘2x＋x中的2x两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3.(2)依题意，注意到x＋1x10的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10·x10－2r，x＋1x10的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C310，C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2.【答案】(1)C(2)2角度二：三项或三项以上的展开问题(1)(2019·长春高二检测)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)(2019·大连高二检测)x2＋1x＋25的展开式中整理后的常数项为________.【解析】(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C．法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C．(2)由x2＋1x＋25＝x2＋1x10，设通项公式为Tr＋1＝Cr10x210－r1xr＝1210－r2Cr10x5－r，据题意令5－r＝0，即r＝5.故常数项为T6＝6322.【答案】(1)C(2)6322(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．②找到构成展开式中特定项的组成部分.③分别求解再相乘，求和即得.(2)三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．1.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)解析：依题意，(x＋y)8的二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck8x8－kyk，0≤k≤8，k∈Z.当k＝7时，T8＝C78xy7＝8xy7；当k＝6时，T7＝C68x2y6＝28x2y6.所以(x－y)(x＋y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7，故x2y7的系数为－20.答案：－202.求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数.解：法一：因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5(x＋1)5＝(C05x5＋C15x4·2＋…＋C55·25)·(C05x5＋C15x4＋…＋C55)，所以展开后含x的项为C45x·24·C55＋C55·25·C45x＝240x，所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为240.法二：把(x2＋3x＋2)5看成5个(x2＋3x＋2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x，4个因式取2得到，即C153x·C44·24＝240x，所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为240.1.S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于()A．x4B．x4＋1C．(x－2)4D．x4＋4解析：选A．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C04(x－1)4＋C14(x－1)3＋C24(x－1)2＋C34(x－1)＋C44＝[(x－1)＋1]4＝x4，故选A．2.在x－12x10的二项展开式中，x4的系数为()A．－120B．120C．－15D．15解析：选C．Tr＋1＝Cr10x10－r－12xr＝－12r·Cr10x10－2r，令10－2r＝4，则r＝3.所以x4的系数为－123C310＝－15.3.x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的值为()A．3B．4C．5D．6解析：选D．展开式的通项为Tr＋1＝Crn·(x2)n－r·(－1)r·(x－1)r＝(－1)r·Crn·x2n－3r.令2n－3r＝0，得n＝32r(n，r∈N*)，若r＝2，则n＝3不符合题意，若r＝4，则n＝6，此时(－1)4·C46＝15，所以n＝6.4.1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为________.解析：(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cr6xr，所以1＋1x2·(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30.答案：305.求二项式(x－3x)9展开式中的有理项.解：Tr＋1＝