2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2 “杨辉三角”与二项

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A．第6项B．第5项C．第5,6项D．第6,7项答案A答案解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C3n＝C7n，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．解析2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为()A．8B．9C．10D．11解析由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故选B.解析答案B答案3．在x－1x10的展开式中，系数最大的项为()A．第5项B．第6项C．第5项和第6项D．第5项和第7项答案D答案解析由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝C510x5－1x5＝－C510，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝C410x6－1x4＝C410x2，T7＝C610x4－1x6＝C610x－2，且C410＝C610，∴系数最大的项为第5项和第7项．解析4．若多项式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a0＋a2＋…＋a8＝()A．509B．510C．511D．1022解析令x＝0得0＝a0＋a1＋…＋a9＋a10.①令x＝－2得－2＋(－2)10＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10.②①＋②得210－2＝2a0＋2a2＋…＋2a10，∴a0＋a2＋…＋a10＝29－1.又由x10的系数为1知，a10＝1，∴a0＋a2＋…＋a8＝29－1－1＝510.解析答案B答案5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项答案B答案解析设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＝32n，a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝1，两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝32n－12.由已知，得32n－12＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.解析二、填空题6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.解析根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，Cm2m＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b.又13a＝7b，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，解得m＝6满足等式．解析答案6答案7．在1x＋31x3n的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________．解析∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C511＝C611＝462.解析答案462答案8．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.答案1答案解析令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.解析三、解答题9．已知fn(x)＝(1＋x)n.(1)若f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，求a1＋a3＋…＋a2017＋a2019的值；(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，所以f2019(x)＝(1＋x)2019，又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝22019，①f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2018－a2019＝0，②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝22019，所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝22018.答案(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6项的系数为1＋2×C67＋3C68＝99.答案B级：能力提升练10．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n·25＝C6n·26，得n＝8.所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.答案设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1，Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1，即8！×2r！8－r！≥8！r－1！8－r＋1！，8！r！8－r！≥8！×2r＋1！8－r－1！.解之得5≤r≤6，因为r∈N，所以r＝5或r＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.答案本课结束