2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理课件 新

1．3.1二项式定理课前自主预习知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝．□01C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn□02Ckn(k∈{0,1,2，…，n})□031＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn(n∈N*)结构特点：(1)各项的次数都二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有项．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)□04等于□05n＋1□06Cknan－kbk□07Cknan－kbk1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是Crn，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数Crn与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()×××2．做一做(1)x－1x16的二项展开式中第4项是________．(2)展开1＋1x4为________．(3)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．答案(1)－560x10(2)1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4(3)10答案解析(1)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr16·x16－r·－1xr＝(－1)r·Cr16·x16－2r，所以第4项为T4＝(－1)3C316·x10＝－C316x10＝－560x10.(2)1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.(3)T4＝C35x2y3含x2y3的项的系数是C35＝10.解析课堂互动探究探究1二项式定理的正用与逆用例1(1)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2019)－f(－2019)的值为________；(2)求x－12x4的展开式．[解析](1)根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.显然f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴f(2019)－f(－2019)＝0.(2)解法一：x－12x4＝C04(x)4－C14·(x)3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.解法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.解析[答案](1)0(2)见解析答案拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1](1)用二项式定理展开3x＋1x4；(2)化简1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn.解(1)解法一：3x＋1x4＝(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)21x2＋C34(3x)1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.答案解法二：3x＋1x4＝3x＋1x4＝1x2(1＋3x)4＝1x2[1＋C14(3x)＋C24(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4]＝1x2(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝1x2＋12x＋54＋108x＋81x2.(2)1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn＝C0n＋21C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n.答案探究2利用二项式定理求某些特定项例2已知3x－123xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数及二项式系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解](1)由题意得，Tr＋1＝Crn(3x)n－r·－123xr＝(－1)r12rCrnxn－2r3(r＝0,1,2，…，n)．∴T6＝T5＋1＝(－1)5·125C5n·xn－103，又第6项为常数项，∴n－103＝0，∴n＝10.答案(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)r12r·Cr10·x10－2r3，令10－2r3＝2，得r＝2.∴x2的系数为(－1)2·122·C210＝454.含x2这一项的二项式系数为C210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r≤10，r∈Z.∵Tr＋1为有理项，答案∴10－2r3为有理数，∴10－2r＝0，或10－2r＝6，或10－2r＝－6，得r＝5或r＝2或r＝8.∴有理项为T3＝C210122x2＝454x2，T6＝C510－125＝－638，T9＝C810－128·x－2＝45256x－2.答案拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．[跟踪训练2](1)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________；(2)x2－13x8的展开式中的常数项是________．答案(1)1(2)7答案解析(1)展开式的通项为Tr＋1＝Cr9x9－r(－a)r1xr＝Cr9·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)展开式的通项为Tr＋1＝Cr8x28－r－13xr＝(－1)r128－rCr8x8－r－13r＝(－1)r128－rCr8x8－43r(0≤r≤8，r∈N)．令8－43r＝0，得r＝6，则T7＝(－1)6128－6C68＝7.答案探究3整除及余数问题例3(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．[解](1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．答案(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.答案拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3](1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；(2)求230－3除以7的余数．解(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋Cn＋1n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋Cn－1n＋182＋Cnn＋1·8＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋Cn－1n＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除．答案(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C010710＋C11079＋…＋C9107＋C1010－3＝7×(C01079＋C11078＋…＋C910)－2.又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.答案随堂达标自测1．若(2x－3x)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为()A．11B．12C．13D．14解析因为(2x－3x)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.选A.解析答案A答案2．二项式x3－2x25的展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40解析二项式x3－2x25的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x3)5－r－2x2r＝(－1)r·2rCr5x15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝(－1)3×23×C35＝－80.选B.解析答案B答案3．若C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5解析由C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有C适合．解析答案C答案4．(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b等于________．解析∵(1＋2)5＝1＋C152＋C25(2)2＋C35(2)3＋C45(2)4＋C55(2)5＝41＋292，∴a＝41，b＝29，a＋b＝41＋29＝70.解析答案70答案5．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．解∵(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本题求x10的系数，只要求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数．由Tr＋1＝Cr10x10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C210×22＝180，又x10的系数为C010＝1，因此所求系数为180－1＝179.答案本课结束