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第一章计数原理第2课时组合的综合应用(习题课)第一章计数原理考点学习目标核心素养有限制条件的组合问题能正确利用组合公式及分类讨论思想解决一些有限制条件的组合问题逻辑推理、数学运算组合中的分组、分配问题正确识别组合中的分组、分配问题，并能利用组合公式求解逻辑推理、数学运算与几何图形有关的组合问题能利用组合公式解决一些与几何图形有关的组合问题直观想象、逻辑推理、数学运算某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？有限制条件的组合问题【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法.(2)(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24C46种选法；②选3名外科专家，共有C34C36种选法；③选4名外科专家，共有C44C26种选法，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有C24C46＋C34C36＋C44C26＝185(种).(3)至多有2名外科专家的抽调方法有C66＋C14C56＋C24C46＝115(种).有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：选A．若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有C15C34＝20(种)，若是3个奇数1个偶数，则有C35C14＝40(种)，共有20＋40＝60(种)不同的取法.2.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选.(2)至多有两名女生当选.(3)既要有队长，又要有女生当选.(4)至多有1名队长被选上.解：(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)．或采用排除法有C513－C511＝825(种).(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种).(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种.故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种).(4)分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462(种)选法.第二类：一名队长被选上，分女队长被选上或男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660(种)选法.所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1122(种).按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本.组合中的分组、分配问题【解】(1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C26种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C24种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C22种方法，所以一共有C26C24C22＝90(种)方法．(2)先在6本书中任取1本，作为一堆，有C16种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C25种取法，最后余下3本书作为一堆，有C33种取法，共有方法C16C25C33＝60(种).(3)分成三堆共有C16C25C33种，但每一种分组方法又有A33种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有C16C25C33A33＝360(种).[变问法]在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有C46C12C11A22种，然后分给三个人共有C46C12C11A22·A33＝90(种).分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种.①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.(2)这是全排列问题，共有A44＝24(种)放法.(3)法一：先将4个小球分为三组，有C24C12C11A22种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A34种投放方法，故共有C24C12C11A22·A34＝144(种)放法.法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C24种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A34种投放方法，所以共有C24A34＝144(种)放法.(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C34C13＝12(种)放法.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？与几何图形有关的组合问题【解】(1)法一：可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个).法二：可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个).解答几何图形组合问题的策略(1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.(2)解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C35＋3＝33(种).(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C46＝60(种)，四面体的每一棱上的3个点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法有C410－(60＋6＋3)＝141(种).已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？排列与组合的综合问题【解】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103680(种).(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现，所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)A44＝576(种).解决排列、组合综合问题要遵循两个原则(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类，解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5400(种)选法.(2)除去该女生后，先选后排有C47·A44＝840(种)选法.(3)先选后排，但先安排该男生有C47·C14·A44＝3360(种)选法.(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360(种)选法.1.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有()A．26种B．84种C．35种D．21种解析：选C．从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35种选法.2.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．C32197·C23B．C33C2197＋C23C3197C．C5200－C5197D．C5200－C13C4197解析：选B．至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C23C3197种，(2)3件次品，2件正品，共C33C2197种，由分类加法计数原理得抽法共有C23C3197＋C33C2197.3.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为________.解析：法一(直接法)分两类：第1类，张、王两同学都不参加，有C44＝1种选法；第2类，张、王两同学中只有1人参加，有C12C34＝8种选法.故共有1＋8＝9种选法.法二(间接法)：共有C46－C24＝9种不同选法.答案：94.从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C34种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C45种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A77种排法．所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100800(个).(2)上述七位数中，3个