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探究点一有限制条件的组合问题[典例精析]某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？第4课时组合的应用(习题课)[解](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24C46种选法；②选3名外科专家，共有C34C36种选法；③选4名外科专家，共有C44C26种选法，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有C24C46＋C34C36＋C44C26＝185种．(3)至多有2名外科专家的抽调方法有C66＋C14C56＋C24C46＝115种．[类题通法]有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．[针对训练]1．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)至少有1名队长参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法．第二步：选2名女运动员，有C24种选法．所以共有C36·C24＝120种选法．(2)法一(直接法)：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得共有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246种选法．法二(间接法)：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56(种)．所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246(种)．(3)法一(直接法)：可分类求解．“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38.所以共有2C48＋C38＝196(种)选法．法二(间接法)：从10人中任选5人有C510种选法，其中不选队长的方法有C58种，所以“至少有1名队长”的选法为C510－C58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48－C45(种)．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种).探究点二分组(分配)问题[典例精析]6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本．[解](1)先从6本书中选2本给甲，有C26种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C24种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C22种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C26C24C22＝90种分法．(2)可以分两步完成：第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据(1)的结论和分步乘法计数原理得到C26C24C22＝xA33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份2本，一共有15种分法．(3)这是“不均匀分组”问题，按照(1)的方法得到一共有C16C25C33＝6×(5×2)×1＝60种分法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种分法．[类题通法]1．组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所示：常见形式处理方法非均匀不编号分组n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为AArr(其中A为非均匀不编号分组中的分法数)．如果再有k组均匀组应再除以Akk.非均匀编号分组n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·Amm.均匀编号分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为AArr·Amm.2.分配问题的处理途径．将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题．分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则．[针对训练]2．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．(1)每盒至多一球，有多少种放法？(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解：(1)这是全排列问题，共有A44＝24种放法．(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C14种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C14·2＝8种放法．(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C34C13＝12种放法．(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C313＝286种放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球．探究点三排列、组合的综合问题[典例精析]已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现．所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)A44＝576(种)．[类题通法]解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．[针对训练]3．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5400种选法．(2)除去该女生后，先选后排有C47·A44＝840种选法．(3)先选后排，但先安排该男生有C47·C14·A44＝3360种选法．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种选法．1．本节课的重点是有限制条件的组合问题、分组(分配)问题以及排列、组合的综合问题，也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)有限制条件的组合问题的解法，见讲1；(2)分组(分配)问题的求法，见讲2；(3)排列、组合的综合问题的解法，见讲3.3．本节课的易错点是平均分组问题．[课堂归纳领悟]