2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第3课时 组合与组合数公式课件

第3课时组合与组合数公式一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P21～P25的内容，回答下列问题．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与教材P14问题1有什么区别和联系？提示：教材P14问题1是求“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”的选法种数，由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同的选法，因此解决这个问题时，不仅要从3名同学中选出2名，而且还要将他们按照“上午在前，下午在后”的顺序排列．这是上一节研究的排列问题．本节要研究的问题只是从3名同学中选出2名去参加一项活动，而不需要排列他们的顺序．二、归纳总结·核心必记1．组合及组合数的概念(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．合成一组组合的个数Cmn展开式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！公式阶乘式Cmn＝n！m！n－m！性质1Cmn＝Cn－mn性质2Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n性质规定C0n＝12．组合数公式及其性质三、综合迁移·深化思维(1)你能说说排列与组合之间的区别和联系吗？提示：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，这是排列、组合的共同点；它们的不同点是：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“abc”与“acb”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列．(3)我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么，“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．探究点一组合概念的理解[思考探究](1)两个组合是相同组合的充要条件是什么？(2)判断组合与排列的依据是什么？名师指津：(1)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(2)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．[典例精析]判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，共写出了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的科代表，有多少种选法？[解](1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A210＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C210＝45.(3)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(4)是组合问题，因为选出的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120.(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的科代表是有区别的，排列数为A310＝720.[类题通法]区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题．[针对训练]1．给出下列问题：(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(5)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(6)从全班40人中选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解：(1)飞机票与起点、终点有关，有顺序，是排列问题．(2)票价与起点、终点无关，没有顺序，是组合问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(5)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(6)3人参加某项相同劳动，没有顺序，是组合问题．探究点二组合数公式[典例精析](1)计算：①3C38－2C25.②C38－n3n＋C3n21＋n.③C33＋C34＋…＋C310.(2)证明：Cm＋1n＋Cm－1n＋2Cmn＝Cm＋1n＋2.[解](1)①3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.②∵38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5，∵n∈N*，∴n＝10，∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝30！28！×2！＋31！30！＝466.③法一：原式＝C33＋C45－C44＋C46－C45＋…＋C411－C410＝C411＝330.法二：原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝…＝C410＋C310＝C411＝330.(2)证明：法一：左边＝n！m＋1！n－m－1！＋n！m－1！n－m＋1！＋2n！m！n－m！＝n！m＋1！n－m＋1！[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)]＝n！m＋1！n－m＋1！(n＋2)(n＋1)＝n＋2！m＋1！n－m＋1！＝Cm＋1n＋2＝右边，原结论得证．法二：利用公式Cmn＝Cmn－1＋Cm－1n－1推得左边＝(Cm＋1n＋Cmn)＋(Cmn＋Cm－1n)＝Cm＋1n＋1＋Cmn＋1＝Cm＋1n＋2＝右边．[类题通法](1)有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的，Cmn＝AmnAmm常用于n，m为具体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算；公式Cmn＝n！m！n－m！常用于n，m为字母或含有字母的式子的题目，一般偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明．(2)关于组合数的性质1(Cmn＝Cn－mn)①该性质反映了组合数的对称性，即从n个不同的元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着剩下的n－m个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系．②当m＞n2时，通常不直接计算Cmn，而改为计算Cn－mn.(3)关于组合数的性质2(Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n)①形式特点：公式的左端下标为n＋1，右端下标为n，相差1，上标左端与右端的一个相同，右端的另一个比它们少1；②作用：常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形Cm－1n＝Cmn＋1－Cmn，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．[针对训练]2．(1)求值：C5－nn＋C9－nn＋1；(2)求证：Cmn＝m＋1n－mCm＋1n.解：(1)5－n≤n，5－n≥0，9－n≤n＋1，9－n≥0，解得4≤n≤5.又因为n∈N＋，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.(2)证明：因为Cmn＝n！m！n－m！，m＋1n－mCm＋1n＝m＋1m＋1！·n！n－mn－m－1！＝n！m！n－m！，所以Cmn＝m＋1n－mCm＋1n.3．计算：(1)C58＋C98100·C77；(2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55；(3)Cnn＋1·Cn－1n.解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋5×42×1＝32.(3)原式＝C1n＋1·C1n＝(n＋1)n＝n2＋n.探究点三简单的组合应用题[典例精析]现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解](1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝15×6＝90(种)．[类题通法]解答简单的组合问题的思路(1)弄清楚做的这件事是什么；(2)分析这件事是否需分类或分步完成；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．[针对训练]4．一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C58＝C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成：第1步，从7个白球中任取4个白球，有C47种取法；第2步，把1个红球取出，有C11种取法．故不同取法的种数是C47C11＝C47＝C37＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C57＝C27＝21.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)组合概念的理解，见探究点一；(2)组合数公式及性质的应用，见探究点二；(3)会解决简单的组合应用题，见探究点三．3．本节课的易错点是利用组合数性质Cxn＝Cyn解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上，Cxn＝Cyn⇔x＝y或x＋y＝n，x≤n，y≤n，x，y∈N*.