2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第1课时 排列与排列数公式课件

第1课时排列与排列数公式1.2排列与组合一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P14～P20的内容，回答下列问题．(1)在教材P14－问题1中选出参加活动的2名同学与顺序有关吗？如果将问题改为“从甲、乙、丙3名同学中选出2名一起参加某项活动”，这与原问题还相同吗？提示：问题1中选出参加活动的2名同学，一名参加上午的活动，一名参加下午的活动，与顺序有关；而改编后的问题中的2名同学与顺序无关．(2)教材P15－问题2中选出的3个不同数字，排成一个三位数，与数字的顺序有关吗？提示：有关．二、归纳总结·核心必记1．排列(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素，且元素的也相同．一定的顺序完全相同排列顺序2．排列数（1）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示；（2）排列数公式Amn＝＝n！n－m！.特别地，Ann＝＝n！，(m，n∈N*，且m≤n)，0！＝.不同排列Amnn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·11探究点一排列概念的理解[思考探究]如何判断一个问题是否为排列问题？名师指津：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[典例精析]判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．(1)从1,2,3，…，10这10个正整数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？(2)从1,2,3，…，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？(3)从1,2,3，…，10这10个正整数中任取两个数组成一个数列，可以得到多少个不同的数列？[解](1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．对于(1)，取出的两个数组成直角坐标平面内的点的坐标与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题．对于(2)，取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素与顺序无关，所以这不是排列问题．对于(3)，取出的两个数组成一个数列与以哪一个数为这个数列的第一项，哪一个数为第二项的顺序有关，所以这是排列问题．[类题通法]判断一个事件是否与顺序有关的方法：通过“变换元素的位置”进行判断，若变换后结果有变化，则表明该事件与顺序有关；若结果无变化，则表明该事件与顺序无关．[针对训练]1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个．解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序不同而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而商的结果相同的可能，故是排列．(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．探究点二利用排列数公式进行计算或证明[典例精析]根据要求完成下列各题．(1)计算：A59＋A49A610－A510；(2)解方程：3Ax8＝4Ax－19；(3)解不等式：Ax86Ax－28.[解](1)原式＝5A49＋A495A510－A510＝6A494A510＝6A4940A49＝640＝320.(2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x！＝4×9！10－x！，化简得3＝4×910－x9－x，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.因为x≤8，所以原方程的解是x＝6.(3)由排列数公式，得8！8－x！6·8！10－x！，化简得1610－x9－x，即x2－19x＋840，所以7x12.又因为x∈N*,0x≤8,0x－2≤8，所以2x≤8且x∈N*，所以x＝8.[类题通法](1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点；(2)排列数的第二个公式Amn＝n！n－m！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用．[针对训练]2．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋A20102010，则M的个位数字是()A．3B．8C．0D．5解析：选A∵当n≥5时，Ann＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时Ann的个位数字为0，又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.3．求证：Amn＋mAm－1n＝Amn＋1.证明：Amn＋mAm－1n＝n！n－m！＋m×n！n－m＋1！＝n－m＋1×n！＋m×n！n－m＋1！＝n－m＋1＋mn！n－m＋1！＝n＋1！n－m＋1！＝Amn＋1.探究点三简单的排列问题[典例精析](1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[思路点拨]可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式．[解](1)法一：把1,2,3,4中任意一个数字排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有3种排法．由题意作树形图，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．法二：从4个数字中任取2个，其排列个数为A24＝4×3＝12.(2)法一：由题意作树形图，如下．故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.共有24种排法．法二：从4个元素a，b，c，d中任取3个元素，共有A34＝4×3×2＝24种排法．[类题通法]对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用字典排序法或树形图或框图法，树形图是把同一元素为首的若干排列按一定的顺序一一写出来，为了省略前面与上一行相同的元素而画出的像树枝一样的图形，利用树形图具体地列出各种情形，可避免排列的重复或遗漏．[针对训练]4．某博物馆计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方法有________种．解析：4幅油画有A44＝24种不同的排法，5幅国画有A55＝120种不同的排法，水彩画放在油画和国画之间，则有24×120×2＝5760种不同的陈列方法．答案：57605．有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有________种不同的送法．解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同的元素中，没有重复地取出3个元素，按甲、乙、丙(3名同学)的顺序排成一列，所以共有A37＝7×6×5＝210种不同的送法．答案：2101．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)对排列概念的理解，见讲1；(2)利用排列数公式进行计算或证明，见讲2；(3)简单排列问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是利用排列数公式Amn解决问题时，易忽视条件m≤n，且m∈N*，n∈N*，如讲2(3)．[课堂归纳领悟]