2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排

第1课时排列与排列数公式课前自主预习知识点排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的相同．□01一定的顺序□02排列顺序知识点排列数及排列数公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．2．排列数公式(1)乘积形式：Amn＝(这里n，m∈N*且m≤n)(2)阶乘形式：Amn＝.(n，m∈N*，且m≤n)(3)性质：Ann＝，规定A0n＝0！＝.□01所有不同排列的个数□02n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．□03n！n－m！□04n！□051,□061排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．注意：所研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，它是一个数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()×√×√2．做一做(1)89×90×91×…×100可表示为()A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100(2)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________排列问题．(填“是”或“不是”)(3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有________个．答案(1)C(2)不是(3)6答案解析(1)A12100＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.(2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题．(3)12,13,21,23,31,32，共6个．解析课堂互动探究探究1排列的有关概念例1判断下列问题是否是排列问题．(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？(3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？[解](1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题．(2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．答案(3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．(4)是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题．(5)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列问题．答案拓展提升判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟踪训练1]判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有ab，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管ab还是ab，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．答案探究2简单的排列问题例2写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？[解](1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．答案(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A、B，两名老师分别为M、N，此问题可分两类：由此可知所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．答案拓展提升用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．[跟踪训练2]从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．答案画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.答案探究3与排列数有关的运算例3(1)计算：4A48＋2A58A88－A59；(2)解方程3Ax8＝4Ax－19；(3)解不等式Ax96Ax－29，其中x≥3，x∈N*；(4)若n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．[解](1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3Ax8＝4Ax－19，得3×8！8－x！＝4×9！10－x！，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.(3)由原不等式得9！9－x！6×9！9－x＋2！，其中3≤x≤9，x∈N*，即(11－x)·(10－x)6，答案整理得x2－21x＋1040，解得x8或x13.又3≤x≤9，x∈N*，所以x＝3,4,5,6,7.故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．(4)先确定最大数，即69－n，再确定因式的个数为(69－n)－(55－n)＋1＝15.则由排列数公式得A1569－n.答案拓展提升(1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，Amn中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．(2)利用排列数公式灵活地解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征——Amn就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，就能活用排列数公式．[跟踪训练3](1)设a∈N*，且a27，且(27－a)(28－a)…(34－a)等于()A．A827－aB．A27－a34－aC．A734－aD．A834－a(2)计算：A48A41212A611＝________.(3)求证：Amn＋1－Amn＝mAm－1n.答案(1)D(2)5(3)见解析答案解析(1)27－a,28－a，…，34－a中最大数为34－a，一共有34－a－(27－a)＋1＝8个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A834－a.(2)解法一：A48A41212A611＝8！4！×12！8！12×11！5！＝5！4！＝5.解法二：A48A41212A611＝8×7×6×5×12×11×10×912×11×10×…×6＝5.解析(3)证明：因为Amn＋1－Amn＝n＋1！n＋1－m！－n！n－m！＝n！n－m！·n＋1n＋1－m－1＝n！n－m！·mn＋1－m＝m·n！n＋1－m！＝mAm－1n，所以Amn＋1－Amn＝mAm－1n.解析随堂达标自测1．下列问题是排列问题的是()A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？答案B答案解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B.解析2．下列各式中与排列数Amn相等的是()A.n！m－n！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.nn－m＋1An－1nD．A1n·Am－1n－1答案D答案解析∵Amn＝n！n－m！，∴A1n·Am－1n－1＝nn－1！[n－1－m－1]！＝nn－1！n－m！＝n！n－m！，∴Amn＝A1n·Am－1n－1.解析3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是()A．8B．12C．16D．24解析设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.解析答案B答案4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A44－1＝23.解析答案23答案5．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．答案本课结束