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第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)探究点一组数问题[典例精析]用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)四位奇数？[解](1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的无重复数字的四位密码的个数为N＝5×4×3×2＝120.(2)完成“组成无重复数字的四位整数”这件事，可以分四个步骤：第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的无重复数字的四位整数的个数为N＝4×4×3×2＝96.(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法，四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成．第一步，从2,3,4中选取一个数字作千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从2,3,4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个数字作百位数字有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理知，第一类中可以组成无重复数字的四位奇数的个数为N1＝3×3×2＝18.第二类办法，四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成．第一步，从1,2,4中选取一个数字作千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从1,2,4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理知，第二类中可以组成无重复数字的四位奇数的个数为N2＝3×3×2＝18.最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数的个数为N＝N1＋N2＝36.[类题通法]组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等．(2)解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．[针对训练]1．从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？解：应分三类来解决该问题．第一类，一位数中符合要求的数有8个．第二类，两位数中，十位上的数字有8种选法，个位上的数字有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个．第三类，三位数中百位上的数字为1，十位和个位上的数字都有9种选法，故三位数中，百位上的数字为1的符合要求的数有9×9＝81个；三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求．所以三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．由分类加法计数原理，符合要求的数共有8＋72＋82＝162个．解：分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，凸数的个数为1×2＝2；当中间数为3时，百位可选1、2，个位可选0、1、2，由分步乘法计数原理，凸数的个数为2×3＝6；同理可得：当中间数为4时，凸数的个数为3×4＝12；2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数是多少？当中间数为5时，凸数的个数为4×5＝20；当中间数为6时，凸数的个数为5×6＝30；当中间数为7时，凸数的个数为6×7＝42；当中间数为8时，凸数的个数为7×8＝56；当中间数为9时，凸数的个数为8×9＝72.故所有凸数的个数为2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240.(1)如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有________种不同的涂法．(2)如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________．探究点二涂色问题[典例精析][解](1)①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3,2,1,2，则有3×2×1×2＝12种不同的涂法．②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3,2,1,1，则有3×2×1×1＝6种不同的涂法．所以，根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18种不同的涂法．(2)按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法．第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法．根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法．答案：(1)18(2)420[类题通法]求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于空间涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．[针对训练]3．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解：从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48种方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6种方法，所以有48－6＝42种不同的种植方法.探究点三抽取(分配)问题[典例精析]3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？[解](1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法．[类题通法]求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[针对训练]4．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种解析：选C高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.5．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？解：第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理可知，共有3×3×1×1＝9种取法．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是组数问题，涂色问题以及抽取(分配)问题，也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)组数问题，见探究点一；(2)涂色问题，见探究点二；(3)抽取(分配)问题，见探究点三．3．在解决具体问题时，首先弄清楚是“分类”还是“分步”，还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．简单地说，“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时，还要注意分类、分步时不要重复和遗漏．