第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)探究点一组数问题[典例精析]用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的:(1)银行存折的四位密码?(2)四位整数?(3)四位奇数?[解](1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分四个步骤:第一步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法;第二步,选取左边第二个位置上的数字,有4种选取方法;第三步,选取左边第三个位置上的数字,有3种选取方法;第四步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法.由分步乘法计数原理知,可组成不同的无重复数字的四位密码的个数为N=5×4×3×2=120.(2)完成“组成无重复数字的四位整数”这件事,可以分四个步骤:第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有4种不同的选取方法;第二步,从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字,有4种不同的选取方法;第三步,从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字,有3种不同的选取方法;第四步,从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字,有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理知,可组成不同的无重复数字的四位整数的个数为N=4×4×3×2=96.(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,有两类办法:第一类办法,四位奇数的个位数字为1,这件事分三个步骤完成.第一步,从2,3,4中选取一个数字作千位数字,有3种不同的选取方法;第二步,从2,3,4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个数字作百位数字有3种不同的选取方法;第三步,从剩余的两个数字中,选取一个数字作十位数字,有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理知,第一类中可以组成无重复数字的四位奇数的个数为N1=3×3×2=18.第二类办法,四位奇数的个位数字为3,这件事分三个步骤完成.第一步,从1,2,4中选取一个数字作千位数字,有3种不同的选取方法;第二步,从1,2,4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字作百位数字,有3种不同的选取方法;第三步,从剩余的两个数字中,选取一个数字作十位数字,有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理知,第二类中可以组成无重复数字的四位奇数的个数为N2=3×3×2=18.最后,由分类加法计数原理知,符合条件的四位奇数的个数为N=N1+N2=36.[类题通法]组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”;②在某一定范围内的数的问题;③各位数字和为某一定值问题;④各位数字之间满足某种关系问题等.(2)解决原则①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.[针对训练]1.从1到200这200个自然数中,各个数位上都不含数字8的共有多少个?解:应分三类来解决该问题.第一类,一位数中符合要求的数有8个.第二类,两位数中,十位上的数字有8种选法,个位上的数字有9种选法,故两位数中符合要求的数有8×9=72个.第三类,三位数中百位上的数字为1,十位和个位上的数字都有9种选法,故三位数中,百位上的数字为1的符合要求的数有9×9=81个;三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求.所以三位数中符合要求的数有81+1=82个.由分类加法计数原理,符合要求的数共有8+72+82=162个.解:分8类,当中间数为2时,百位只能选1,个位可选1、0,由分步乘法计数原理,凸数的个数为1×2=2;当中间数为3时,百位可选1、2,个位可选0、1、2,由分步乘法计数原理,凸数的个数为2×3=6;同理可得:当中间数为4时,凸数的个数为3×4=12;2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数个数是多少?当中间数为5时,凸数的个数为4×5=20;当中间数为6时,凸数的个数为5×6=30;当中间数为7时,凸数的个数为6×7=42;当中间数为8时,凸数的个数为7×8=56;当中间数为9时,凸数的个数为8×9=72.故所有凸数的个数为2+6+12+20+30+42+56+72=240.(1)如图①所示,有A,B,C,D四个区域,用红、黄、蓝三种颜色涂色,要求任意两个相邻区域的颜色各不相同,共有________种不同的涂法.(2)如图②所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同染色方法的总数为________.探究点二涂色问题[典例精析][解](1)①若A,C涂色相同,则按照分步乘法计数原理,A,B,C,D可涂颜色的种数依次是3,2,1,2,则有3×2×1×2=12种不同的涂法.②若A,C涂色不相同,则按照分步乘法计数原理,A,B,C,D可涂颜色的种数依次是3,2,1,1,则有3×2×1×1=6种不同的涂法.所以,根据分类加法计数原理,共有12+6=18种不同的涂法.(2)按照S→A→B→C→D的顺序进行染色,按照A,C是否同色分类:第一类,A,C同色,则有5×4×3×1×3=180种不同的染色方法.第二类,A,C不同色,则有5×4×3×2×2=240种不同的染色方法.根据分类加法计数原理,共有180+240=420种不同的染色方法.答案:(1)18(2)420[类题通法]求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析;(3)对于空间涂色问题将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题.[针对训练]3.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种?解:从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法,共有3×2×2×2×2=48种方法,其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1=6种方法,所以有48-6=42种不同的种植方法.探究点三抽取(分配)问题[典例精析]3.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法?(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法?[解](1)分三类:第一类,选出的是医生,有3种选法;第二类,选出的是护士,有5种选法;第三类,选出的是麻醉师,有2种选法.根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法.(2)分三步:第一步,选1名医生,有3种选法;第二步,选1名护士,有5种选法;第三步,选1名麻醉师,有2种选法.根据分步乘法计数原理知,共有3×5×2=30种选法.[类题通法]求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.[针对训练]4.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种解析:选C高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案,若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43-33=37种.故选C.5.甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡,放在一起,再各取1张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同取法?解:第一步,甲取1张不是自己所写的贺卡,有3种取法;第二步,由甲取出的那张贺卡的供卡人取,也有3种取法;第三步,由剩余两人中任一人取,此时只有1种取法;第四步,最后1个人取,只有1种取法.由分步乘法计数原理可知,共有3×3×1×1=9种取法.[课堂归纳领悟]1.本节课的重点是组数问题,涂色问题以及抽取(分配)问题,也是本节课的难点.2.本节课要重点掌握的规律方法(1)组数问题,见探究点一;(2)涂色问题,见探究点二;(3)抽取(分配)问题,见探究点三.3.在解决具体问题时,首先弄清楚是“分类”还是“分步”,还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么.简单地说,“分类互斥”“分步互依”,关键是看能否独立完成这件事.与此同时,还要注意分类、分步时不要重复和遗漏.