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1．1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用课前自主预习知识点分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．□01m＋n□02m1＋m2＋…＋mn知识点分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．□01mn□02m1m2·…·mn使用两个原理解题的本质1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．()×√√√2．做一做(1)从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有________种不同的选法．(2)一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法．(3)从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有________种．答案(1)64(2)48(3)5答案解析(1)分类完成此事，一类是选教师，有10种选法；另一类是选学生，有54种选法．由分类加法计数原理可知，共有10＋54＝64种选法．(2)由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.(3)分类完成此事，如果选女生，有3种选法；如果选男生，有2种选法．由分类加法计数原理可知，共有3＋2＝5种选法．解析课堂互动探究探究1分类加法计数原理的应用例1有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？[解]有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(种)．答案拓展提升(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路[跟踪训练1]高二(1)班有学生50人，男生30人；高二(2)班有学生60人，女生30人；高二(3)班有学生55人，男生35人．(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)选一名学生有3类不同的选法：第一类，从高二(1)班选一名，有50种不同的方法；第二类，从高二(2)班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二(3)班选一名，有55种不同的方法．故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法．答案(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法；第一类，从高二(1)班男生中选有30种不同的方法；第二类，从高二(2)班男生中选有30种不同的方法；第三类，从高二(3)班女生中选有20种不同的方法．故选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同选法．答案探究2分步乘法计数原理的应用例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P(a，b)可表示多少个不在直线y＝x上的点？[解](1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种方法；第二步确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上6×6＝36个不同的点．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，因为a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，因为b0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上3×2＝6个第二象限的点.(3)分两步：第一步确定a，有6种方法；第二步确定b，有5种方法．根据分步乘法计数原理，不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．答案拓展提升本例运用了分步乘法计数原理．利用此原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各个步骤中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．[跟踪训练2]书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本数学、一本语文和一本英语共三本书的不同取法有多少种？(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？解(1)完成这个工作可分三个步骤：第1步，从第一层中任取一本数学书；第2步，从第二层中任取一本语文书；第3步，从第三层中任取一本英语书．根据分步乘法计数原理，共有6×6×5＝180种不同的取法．(2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤：答案第1步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；第2步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；第3步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法．答案探究3两个计数原理的辨析例3某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？[解](1)分三类：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24种不同的选法．(2)分三步：第一步是从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步是从二班的10名优秀团员中选1名组员，共10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得：共有N＝8×10×6＝480种不同的选法．答案(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法，第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188种不同的选法．答案拓展提升(1)运用两个原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一种方法只能完成事件中的某一部分．(2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一类中再分步．[跟踪训练3]有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？解(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．答案(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第2类，选一名老师再选一名女同学，有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．或分两步：第一步选老师，有3种方法；第二步选同学，有8＋5＝13种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×13＝39种选法．答案随堂达标自测1．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则()A．有29种不同的选法B．有30种不同的选法C．有59种不同的选法D．有29×30种不同的选法答案C答案解析分两类：第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班选有30种方法．由分类加法计数原理得共有29＋30＝59种不同方法．故选C.解析2．若5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种解析5位同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2＝32种报名方法．解析答案D答案3．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9答案B答案解析由题意可知，E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法．解析4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析∵a＋bi为虚数，∴b≠0，完成这件事，分两步进行，第一步确定b，有6种不同的方法，第二步确定a，由于a≠b，但a可以为0，故有6种不同的方法，故共有虚数6×6＝36个．解析答案C答案5．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．答案(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．解析本课结束