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[自主梳理]分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“______”问题，其中各种方法___________，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“________”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．分类相互独立分步[双基自测]1．上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人的选法有()A．500种B．5000种C．55种D．10种解析：选法为10＋20＋25＝55(种)．C2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数6×6＝36(个)．C探究一分类加法计数原理的综合应用[例1]在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是________个．[解析]分别令x＝0,1,2，…，15，可得y的最大的自然数分别为10,9,8,8,7,6,6,5,4,4,3,2,2,1,0,0.所以当x＝0,1,2，…，15时，分别有11,10,9,9,8,7,7,6,5,5,4,3,3,2,1,1个整点．故整点总数为11＋10＋9＋9＋8＋7＋7＋6＋5＋5＋4＋3＋3＋2＋1＋1＝91(个)．[答案]91本题主要借助直线和整点的有关知识，考查分类加法计数原理的应用．解本题宜采用“数形结合”的方法．1．已知直线m与n除有一个公共点外，m上还有3个点，n上还有4个点，则通过其中两点可以构成________条直线．解析：分两类：第一类，除公共的点外，在m上取一个点，在n上取一个点，可构成3×4＝12条直线；第二类，有2条直线，它们是m和n.故可以构成12＋2＝14条直线．答案：14探究二分步乘法计数原理的综合应用[例2](1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投到3个邮筒里，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？[解析](1)分三步，每个同学分一本书，第一、二、三个同学分别有8、7、6种分法，由分步乘法计数原理知，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事可以分为四步．第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，也有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81(种)．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有N＝4×4×4＝64(种)．应用分步乘法计数原理时，要学会适当地分步，把事件分成n个步骤，依次完成各个步骤就可以完成这件事情，注意本例中(2)(3)两问的不同．2．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？解析：(1)用下图来表示一个字节：第1位第2位第3位第8位……↑↑↑↑2种2种2种2种一个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256个不同的字符．(2)由(1)知，用一个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符．前一个字节有256种不同的表示方法，后一个字节也有256种表示方法．根据分步计数原理，2个字节可以表示256×256＝65536个不同的字符，已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示．探究三两个计数原理的综合应用[例3]将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种(以数字作答)？[解析]分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块试验田，有3种方法，不妨设种a，再安排第二块试验田种b或c，有2种方法，不妨设种b，安排第三块试验田也有2种方法，种c或a.(1)若第三块试验田种c：abc则第四、五块田分别有2种种法，共有2×2种种法.(2)若第三块试验田种a：aba第四块田仍有2种种法.①若第四块田种c：abac则第五块田仍有2种种法.②若第四块田种b：abab则第五块田只能种c，只有1种种法.综上，共有3×2×[2×2＋(2＋1)]＝42种种法.按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解析：解法一(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6种不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).解法二(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种).两个计数原理的灵活应用[典例](1)某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有()A.7种B．8种C.9种D．10种(2)四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？[解析](1)依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解.若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9个鼠标，则可买键盘3个.根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9(种)．故选C.(2)把四个人分别编号①、②、③、④，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：四个人取贺年卡的方法①222333444②134144133③441412212④313221321方法编号123456789由表格可知，共有9种不同的方法.[答案](1)C(2)9种[感悟提高]计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有________种.解析：三个班在四个工厂中任意选择一个进行社会实践，共有43种不同方案，其中工厂甲没有班选择，即三个班分别在乙、丙、丁三个工厂中选择一个的方法有33种，故符合题意的不同分配方案有43－33＝37(种).答案：37