2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念章末总结课件 新人教A版必修1

章末总结网络建构1.集合中的元素具有确定性.()2.任何一个集合有两个或两个以上的子集.()3.A∩B⊆A,A⊆A∪B.()4.若非空数集f:A→B能构成函数,且该函数的值域是C,则C=B.()5.函数一定是映射,但映射不一定是函数.()6.在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.()7.任何函数都具有单调性.()知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)√×√×√××8.奇偶函数的定义域关于原点对称.()9.若y=f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0.()10.若函数y=f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).()11.奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.()12.若一个图形关于y轴对称,则它一定是偶函数的图象.()√×√√×题型归纳·素养提升真题体验·素养升级题型归纳·素养提升题型一集合间的关系及运算[典例1]已知集合A={x|2≤x≤5},B={x|-2m+1xm},全集为R.(1)若m=3,求A∪B和(∁RA)∩B;解:(1)因为m=3,所以B={x|-5x3},又因为A={x|2≤x≤5}.所以∁RA={x|x2或x5},A∪B={x|-5x≤5},所以(∁RA)∩B={x|-5x2}.解:(2)因为A∩B=A,所以A⊆B,如图,可得21,212,5,mmmm解得m5,所以m的取值范围为{m|m5}.(2)若A∩B=A,求m的取值范围.规律方法(1)集合间运算的常用技巧:①借助于数轴;②利用Venn图.(2)集合间关系及运算中的注意事项:①当涉及集合间关系和运算的有关问题,如A⊆B,A∩B=,A∪B=B等时,都有可能涉及集合A或B为空集的情况.②由集合间关系或运算求参数时,要注意端点“=”的取舍.题型二函数的概念[典例2](1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()解析:(1)A中,当1x≤2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性,所以不能构成函数关系;B中,同时满足任意性与唯一性.能构成函数关系;C中,当x=0或x=2时,对应元素y=3N,不满足任意性,不能构成函数关系;D中x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.故选B.答案:(1)B(2)函数f(x)=1x+12x的定义域为.解析:(2)要使函数f(x)有意义,只需10,20,xx即1,2.xx则函数f(x)的定义域为[-1,2)∪(2,+∞).答案:(2)[-1,2)∪(2,+∞)(3)若关于x的函数f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x5},则关于x的函数f(2x-3)的定义域是.解析:(3)因为f(2x+3)的定义域是[-4,5),所以-5≤2x+313,故f(x)的定义域为[-5,13),则函数f(2x-3)的定义域满足-5≤2x-313.所以-1≤x8,所以f(2x-3)的定义域是[-1,8).答案:(3)[-1,8)规律方法(1)判断某一对应关系是否为函数的步骤:①A,B为非空数集;②A中任一元素在B中有元素与之对应;③B中与A中元素对应的元素唯一.满足上述三条,则对应关系是函数关系.(2)求函数的定义域,对于已知函数解析式求定义域问题,就是使解析式有意义的自变量x的范围;复合函数求定义域要明确中间变量是什么,定义域仍然是解析式中自变量的取值范围.题型三求函数解析式[典例3](1)已知2f(x-1)-f(1-x)=2x2-1,求二次函数f(x)的解析式;解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c,f(1-x)=a(1-x)2+b(1-x)+c,所以2f(x-1)-f(1-x)=2ax2-4ax+2a+2bx-2b+2c-(ax2-2ax+a+b-bx+c)=ax2-(2a-3b)x+a-3b+c=2x2-1,所以2,230,31,aababc解得2,4,31.abc所以f(x)=2x2+43x+1.(2)已知f(x-1)=x,求f(x)的解析式.解:(2)令t=x-1,t≥-1,则x=(t+1)2,所以f(t)=(t+1)2(t≥-1),所以f(x)=(x+1)2(x≥-1).规律方法(1)已知函数解析式的特征,求函数解析式一般利用待定系数法,本题(1)中由于函数为二次函数,因此可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),利用待定系数法求a,b,c.(2)本题(2)中的求解可用换元法,但要注意新元的范围.题型四求函数的最值[典例4](2019·江苏省常熟市高一上期中)已知f(x)是二次函数,f(0)=f(5)=0,且f(-1)=12.(1)求f(x)的解析式;解:(1)因为f(x)是二次函数,且f(0)=f(5)=0,所以设f(x)=ax(x-5)(a≠0),又因为f(-1)=6a=12,所以a=2,所以f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.(2)求f(x)在[0,m]的最小值g(m);解:(2)f(x)的对称轴为x=52,当0m≤52时,f(x)在区间[0,m]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(m)=2m2-10m;当m52时,f(x)在区间[0,52]上单调递减,在区间[52,m]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(52)=-252.综上所述:f(x)min=g(m)=25210,0,2255,.22mmmm(3)对(2)中的g(m),求不等式g(t)g(2t-1)的解.解:(3)因为g(t)g(2t-1),所以0,210,21,521.2ttttt解得12t1.规律方法求二次函数的最值或值域,基本的方法是配方法,当限定在某个闭区间上时,关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给定区间的相对位置,结合函数图象确定该函数的单调性,最大值或最小值是在端点处取得,还是在顶点处取得.求解二次函数在给定区间的最值问题,可画出二次函数的图象帮助分析问题.题型五函数的单调性与奇偶性[典例5]定义在(-1,1)上的函数f(x)=2axbxbxa是奇函数,且f(1)=12.(1)求函数f(x)的解析式;解:(1)因为f(x)是(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,所以b=0,所以f(x)=2axxa,又f(1)=1aa=12,所以a=1,所以f(x)=21xx.解:(2)任取-1x1x21,则x2-x10,f(x2)-f(x1)=2221xx-1211xx=21122212()(1)(1)(1)xxxxxx.因为-1x1x21,所以-1x1x21,1-x1x20.于是f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)为(-1,1)上的增函数.(2)证明函数f(x)在(-1,1)上是增函数;解:(3)由(2)知函数f(x)是定义在(-1,1)上的增函数.由f(t-1)+f(2t)0,得f(t-1)-f(2t)=f(-2t).所以有02,111,11121,,2212,1.3ttttttt解得0t13.故不等式f(t-1)+f(2t)0的解集为103tt.(3)解不等式f(t-1)+f(2t)0.规律方法利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f”求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f(-x)=ax2-bx+c,f(0)=c.所以ax2+bx+c=ax2-bx+c+12x+c-6,则2bx=12x+c-6.所以212,60,bc得b=6,c=6.又f(-1)=a-b+c=1,得a=1,所以f(x)=x2+6x+6.题型六恒成立问题[典例6](2019·河北省廊坊市省级示范高中联合体高一上期中)二次函数f(x)满足f(x)=f(-x)+12x+f(0)-6,且f(-1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-3,0]时,不等式f(2x)4x+m恒成立,求m的取值范围.解:(2)由(1)及f(2x)4x+m,得4x2+8x+6m,令g(x)=4x2+8x+6,x∈[-3,0],所以当x=-1时,g(x)min=g(-1)=2,从而要使不等式f(2x)4x+m恒成立,则m2.规律方法涉及与最值有关的恒成立问题的主要解题思路是:若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)min.题型七抽象函数性质问题[典例7]定义在非零实数集上的函数f(x)满足:f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在区间(0,+∞)上为递增函数.(1)求f(1)、f(-1)的值;(1)解:因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(1×1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,又f[(-1)×(-1)]=f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.(2)求证:f(x)是偶函数;(2)证明:因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)解不等式f(2)+f(x-12)≤0.(3)解:因为f(2)+f(x-12)≤0,所以f(2x-1)≤f(1),因为f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是增函数,所以f(2x-1)=f(|2x-1|)≤f(1),所以|2x-1|≤1,所以0≤x≤1.规律方法求解与抽象函数有关的求值问题应恰当地使用“赋值法”,而涉及抽象函数奇偶性判断问题,应准确构造出f(-x)与f(x)后判断其关系.题型八易错题辨析[典例8]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,若f(2019)=0,则f(x)0的解集是.错解:因为f(x)0且f(2019)=0,所以f(x)f(2019).又f(x)是(0,+∞)上的增函数.所以x2019.纠错:由于y=f(x)是R上的偶函数,因此函数y=f(x)在(-∞,0)上是减函数,上述求解过程忽视了偶函数的性质.正解:因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).又f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(2019)=0.所以f(x)f(2019),即f(|x|)f(2019).所以|x|2019.所以x2019或x-2019.答案:(-∞,-2019)∪(2019,+∞)[典例9]已知集合A={(x,y)|y=3x-1},B=｛(x,y)｜21yx=3｝,试判断集合A与B之间的关系.错解:B=｛(x,y)｜21yx=3｝={(x,y)|y=3x-1},故A=B.纠错:错解对集合B中元素的特征性质进行了不等价变形,从而导致结论错误.正解:B=｛(x,y)｜21yx=3｝={(x,y)|y=3x-1,x≠1},即集合B比集合A少了元素(1,2),故BA.真题体验·素养升级1.(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B等于()(A){3}(B){5}(C){3,5}(D){1,2,3,4,5,7}C解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C.2.(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()(A)9(B)8(C)5(D)4A解析:将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1