2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性素养提升课件 新人教A版必

第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3.2奇偶性素养提升核心素养归纳素养培优提能核心素养归纳一、函数奇偶性的判定方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法．1．定义域判定法【例1】判断函数f(x)＝x＋1·x－1的奇偶性．[分析]一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件．若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．[解]要使函数f(x)有意义，则x－1≥0，x＋1≥0.解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}．因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．[评注]用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性．2．变式法【例2】判断f(x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1的奇偶性．[分析]直接验证f(－x)＝±f(x)有困难，可转化为验证f－xfx＝±1(f(x)≠0)．[解]f(x)的定义域为R，关于原点对称．当x＝0时，f(x)＝0，图象过原点．因为当x≠0时，f－xfx＝1＋x2－x＋121＋x2－x－12＝－1，所以f(－x)＝－f(x)．又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数．[评注]为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(－x)＝±f(x)转化为验证其变式：f(x)±f(－x)＝0或f－xfx＝±1(f(x)≠0)．3．图象法【例3】判断函数f(x)＝x＋2，x－1，0，－1≤x≤1，－x＋2，x1的奇偶性．[分析]本题可用图象法较为直观地判断．[解]作出函数f(x)的图象，如图所示．因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数．[评注]一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数．二、函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明．1．求函数的解析式【例1】已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，求f(x)的解析式．[分析]要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x≤0时，f(x)对应的解析式．[解]因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－3x)，x∈(－∞，0)．又f(0)＝0.所以f(x)＝x1＋3x，x0，0，x＝0，x1－3x，x0.[评注]利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，将x转化到已知区间上；(3)求，根据函数的奇偶性求出解析式．2．求参数的值【例2】已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.[分析]根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x0的解析式．[解析]令x0，则－x0.所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(x)为奇函数，所以当x0时，有f(x)＝x(1－x)．令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1或a＝2(舍去)．[答案]－1[评注]解决本题首先根据自变量所在范围对函数的解析式进行判断，确定所求自变量对应的解析式是求解本题的关键．3．求参数的范围【例3】定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)f(m)，求实数m的取值范围．[解]因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．又f(1－m)f(m)，所以f(|1－m|)f(|m|)．由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m||1－m|2，解得－1m12.故实数m的取值范围是－1，12.[评注]本题利用了偶函数的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)，从而达到简捷求解的目的．三、函数奇偶性与单调性联袂解题单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．下面分类举例说明．1．比较大小【例1】已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0,1]上是减函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)f(0)f(－1)B．f(－1)f(－0.5)f(0)C．f(0)f(－0.5)f(－1)D．f(－1)f(0)f(－0.5)[解析]因为函数f(x)是偶函数，所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又因为f(x)在区间[0,1]上是减函数，所以f(1)f(0.5)f(0)，即f(－1)f(－0.5)f(0)．[答案]B[评注]比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．2．求函数最值【例2】若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上()A．最小值是9B．最小值是－9C．最大值是－9D．最大值是9[解析]因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.[答案]D[评注]应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．3．解不等式【例3】若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)0的解集是()A．(－2,0)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(2，＋∞)[解析]因为函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象如图所示．因为xf(x)0，所以x0，fx0或x0，fx0，结合图象，可知A正确．[答案]A[评注]本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决．4．求参数的取值范围【例4】设定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增，且有f(1－m)＋f12－2m0，求实数m的取值范围．[解]由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，则有－11－m1，－112－2m1，解得0m34.又f(1－m)＋f12－2m0，所以f(1－m)－f12－2m.而函数f(x)为奇函数，则有f(1－m)f2m－12.因为函数f(x)是奇函数，且在[0,1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(－1,1)上单调递增，则有1－m2m－12，解得m12，故实数m的取值范围为12，34.[评注]本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．