2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值素养提升课件

第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值素养提升核心素养归纳素养培优提能核心素养归纳一、函数单调性的应用1．比较大小【例1】若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．[解]依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，∴f(－1)＝f(5)．∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(－1)．[评注](1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．2．解不等式【例2】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1)f(1－2t)，求实数t的取值范围．[解]依题意可得－1t－11，－11－2t1，t－11－2t，解得0t23.[评注](1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式．(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．3．求参数的值或取值范围【例3】已知a0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．[解]任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1x2，则Δx＝x2－x10.Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x32－ax2)－(x31－ax1)＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22－a)．∵1≤x1x2，∴x21＋x1x2＋x223.显然不存在常数a，使(x21＋x1x2＋x22－a)恒为负值．又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a，使x21＋x1x2＋x22－a恒为正数，即x21＋x1x2＋x22a.当x1，x2∈[1，＋∞)时，x21＋x1x2＋x223，∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x10，∴Δy0，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴a的取值范围是(0,3]．4．利用函数单调性求函数的最值【例4】已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝12时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．[解](1)当a＝4时，f(x)＝x＋4x＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．∴f(x)min＝f(1)＝72.(3)函数f(x)＝x＋ax＋2在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．当a1，即a1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f(x)min＝f(a)＝2a＋2.当a≤1，即0a≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.二、函数值域的求法求函数值域的常用方法：配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结合法、有界性法、分离常数法．【例1】求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝f(x)＝2x－1－13－4x.[解](1)解法一(配方法)：∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为－13，1.解法二(判别式法)：由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.当y＝1时，x∈∅；当y≠1时，∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，∴－13≤y1.∴函数的值域为－13，1.(2)解法一(换元法)：设13－4x＝t，则t≥0，x＝13－t24，于是g(t)＝2×13－t24－1－t＝－12t2－t＋112＝－12(t＋1)2＋6，显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g(t)≤g(0)＝112，因此原函数的值域是－∞，112.解法二(单调性法)：函数的定义域是xx≤134，当自变量x增大时，2x－1增大，13－4x减小，所以2x－1－13－4x增大，因此函数f(x)＝2x－1－13－4x在其定义域上是单调递增函数，所以当x＝134时，函数取得最大值f134＝112，故原函数的值域是－∞，112.【例2】求函数y＝10x＋10－x10x－10－x的值域．[解](有界性)因为y＝10x＋10－x10x－10－x＝102x＋1102x－1，所以102x＝y＋1y－1(y≠1)．又因为102x0，所以y＋1y－10.解得y1或y－1，所以值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【例3】求函数y＝3＋x4－x的值域．[解]∵y＝3＋x4－x＝x－4＋74－x＝－1－7x－4，又∵7x－4≠0，∴y＝－1－7x－4≠－1，即函数的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．