2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第一课时

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性[目标导航]课标要求1.理解函数单调性的概念.2.掌握判断函数单调性的一般方法.3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用.素养达成1.运用符号表示函数的单调性,培养数学抽象的核心素养.2.通过函数单调性的证明,培养逻辑推理的核心素养.3.通过运用图象判断函数单调性以及求函数单调区间,培养直观想象的核心素养.4.通过在具体问题情境中运用单调性求函数最值以及解不等式,培养数学运算和数学建模的核心素养.新知导学·素养养成1.增函数与减函数的相关概念增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是.自左向右看图象是.f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的2.函数的单调性及单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.思考1:如何理解函数单调性定义中的x1,x2?答案:(1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换;(2)有大小,即确定的两个值x1,x2必须区分大小,一般令x1x2;(3)同属一个单调区间.增函数减函数区间D思考2:如何证明一个函数的单调性?答案:证明函数的单调性,主要是利用函数单调性定义,步骤如下:思考3:函数的单调区间与函数定义域有何关系?当一个函数有多个单调区间时,如何写函数的单调区间.答案:单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.名师点津(1)几种常见函数的单调区间:函数图象参数范围单调区间k0单调递增区间(-∞,+∞)一次函数y=kx+b(k≠0)k0单调递减区间(-∞,+∞)a0单调递减区间为(-∞,-2ba);单调递增区间为(-2ba,+∞)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)a0单调递增区间为(-∞,-2ba);单调递减区间为(-2ba,+∞)k0单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞)反比例函数y=kx(k≠0)k0单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞)(2)判断函数单调性的常用结论.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则:①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②f(x)与a·f(x),当a0时具有相同的单调性;当a0时具有相反的单调性.③当f(x)恒为正值或恒为负值时,f(x)与1fx具有相反的单调性.④在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数⑤当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则f(x)·g(x)是减(增)函数.(3)复合函数的单调性对于复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在给定的区间(a,b)上是单调函数,且y=f(u)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也是单调函数,则复合函数y=f[g(x)]在(a,b)上是单调函数.①若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f[g(x)]为增函数;②若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f[g(x)]为减函数.列表如下:内层函数u=g(x)外层函数y=f(u)复合函数y=f[g(x)]增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外层函数的单调性相同时复合函数递增,相异时递减.注意:对于复合函数y=f[g(x)],内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集.(4)函数单调性定义的变形式:若x1,x2∈I,且1212fxfxxx0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则函数y=f(x)在I上是增函数;若x1,x2∈I,且1212fxfxxx0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则函数y=f(x)在I上是减函数.课堂探究·素养提升题型一判断或证明函数单调性[例1](1)求证:函数f(x)=x+4x在(0,2)上是减函数;证明:(1)任取x1,x2∈(0,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+14x-(x2+24x)=(x1-x2)+(14x-24x)=(x1-x2)+21124xxxx=(x1-x2)·12124xxxx.因为0x1x22,所以x1-x20,0x1x24,x1x2-40,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x+4x在(0,2)上是减函数.(2)求证:函数f(x)=1x在(1,+∞)上是增函数.证明:(2)设x1,x2是(1,+∞)上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=11x-21x=121212111111xxxxxx=12121+1xxxx,因为x2x11,所以x1-x20,11x+21x0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)=1x在(1,+∞)上是增函数.一题多变:(1)中的函数f(x)=x+4x在(2,+∞)上的单调性如何?怎样证明?解:f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函数,证明如下:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+14x-x2-24x=(x1-x2)+21124xxxx=(x1-x2)·12124xxxx.因为2x1x2,所以x1-x20,x1x24,x1x2-40,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函数.方法技巧(1)比较f(x1)与f(x2)的大小常用的方法有“作差,作商”两种,其中差与0比较大小,而商与1比较大小.(2)常用的变形技巧有:①因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后常通过因式分解变形.②通分.当原函数含有分式时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.③配方.作差后可以运用配方判断差的符号.④分子或分母有理化.当函数中含有根式时,作差后主要考虑分子或分母有理化.[备用例1](1)函数f(x)=21x在(-∞,0)上的单调性如何?怎样证明?(1)解:函数f(x)=21x在(-∞,0)上是增函数.证明:设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=211x-221x=22212212xxxx=21212212xxxxxx.因为x1x20,所以x2-x10,x1+x20,2212xx0,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x1)f(x2).所以函数f(x)=21x在(-∞,0)上是增函数.(2)已知f(x)=21x,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明;(2)解:f(x)=21x在[1,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=221x-211x=2221222111xxxx=2121222111xxxxxx.因为1≤x1x2,所以x2+x10,x2-x10,221x+211x0,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.(3)证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数.(3)证明:设x1,x2∈R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(31x+x1)-(32x+x2)=(31x-32x)+(x1-x2)=(x1-x2)(21x+x1x2+22x+1)=(x1-x2)[(x1+12x2)2+2234x+1].因为x1x2,所以x1-x20.又因为(x1+12x2)2+2234x+10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在R上是增函数.解:因为f(x)=2223,0,23,0.xxxxxx其图象如图所示,所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[0,1],单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).题型二求函数的单调区间[例2]求函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间.一题多变:(1)根据例2的方法,求函数f(x)=|x2-2x-3|的单调区间;解:(1)记g(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,在平面直角坐标系中画出函数g(x)的图象,将函数g(x)在x轴下方部分的图象翻折到上方即可得到函数f(x)=|g(x)|的图象,如图所示.因此函数f(x)的单调递增区间是[-1,1],[3,+∞),单调递减区间是(-∞,-1],[1,3].(2)根据例2的方法求函数f(x)=|x2-2|x|-3|的单调区间.解:(2)设g(x)=x2-2|x|-3=2223,0,23,0.xxxxxx在平面直角坐标系中画出函数g(x)的图象,将函数g(x)的图象在x轴下方部分翻折到上方,便可得到函数f(x)的图象,如图所示.因此函数f(x)的单调递增区间是[-3,-1],[0,1],[3,+∞),单调递减区间是(-∞,-3],[-1,0],[1,3].方法技巧判断函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出函数单调区间.解:(1)因为y=|2x-1|=121,,2112,,2xxxx其图象如图所示.因此函数y=|2x-1|的单调递增区间是[12,+∞),单调递减区间是(-∞,12].[备用例2](1)分别写出函数y=|2x-1|,y=22xx的单调区间;因为y=22xx=2242xx=2-42x.函数y=2-42x的单调区间只与函数y=-42x有关,又y=-42x的单调递增区间为(-∞,-2),(-2,+∞).故函数f(x)=22xx的单调递增区间是(-∞,-2),(-2,+∞).解:(2)f(x)=23,1,23,1xxxx的图象如图所示.由图可知,函数f(x)=23,1,23,1xxxx的单调减区间为(-∞,1]和(1,2),单调增区间为[2,+∞).(2)作出函数f(x)=23,1,23,1xxxx的图象,并指出函数f(x)的单调区间;解:(3)f(x)=322,232,xxxxxx作函数图象如图所示.由图可知函数的单调递增区间是(-∞,-12],[2,+∞),单调递减区间是[-12,2].(3)作出函数f(x)=(x+3)|x-2|的图象,并写出函数的单调区间.题型三函数单调性的应用[例3](1)已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数且满足f(2a-1)f(1-a),则a的取值范围是()(A)(23,+∞)(B)(23,1)(C)(0,2)(D)(0,+∞)解析:(1)因为函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数且满足f(2a-1)f(1-a),所以1211,111,211,aaaa求解可得23a1.故选B.答案:(1)B(2)若函数f(x)=|2x+a|在[6,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.解析:(2)