2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数与映射课件 新人教A

知识点一分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝1，－2≤x≤0，x，0x≤3，其“段”是不等长的．知识点二映射设A、B是两个______集合，如果按某一个确定的_________，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中都有______确定的元素y与之对应，那么就称对应_________为从集合A到集合B的一个映射．,映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．非空对应关系任意唯一f：A→B[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．()(2)分段函数由几个函数构成．()(3)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x1是分段函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()√×√×2．已知函数f(x)＝1x＋1，x－1，x－1，x1，则f(2)等于()A．0B.13C．1D．2解析：f(2)＝2－1＝1.答案：C3．若f(x)＝x，x≥0，－x，x0且f(x)＝1，则x＝()A．1B．－1C．±1D．0解析：当x≥0时，f(x)＝1⇒x＝1，当x0时，f(x)＝1⇒－x＝1，即x＝－1.答案：C4．若A为含三个元素的数集，B＝{－1,3,5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于()A．{－1,2,3}B．{－1,0,2}C．{0,2,3}D．{0,1,2}解析：由映射的概念，A中元素在关系x→2x－1下，成为－1,3,5，则A＝{0,2,3}．答案：C类型一求分段函数的函数值,,例1(1)设f(x)＝|x－1|－2|x|≤1，11＋x2|x|1，则ff12＝()A.12B.413C．－95D.2541(2)已知f(n)＝n－3，n≥10，ffn＋5，n10，则f(8)＝________.【解析】(1)∵f12＝12－1－2＝－32，∴ff12＝f－32＝11＋94＝413，故选B.(2)因为810，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．因为1310，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.【答案】(1)B(2)7判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练1已知f(x)＝x＋1x0，πx＝0，0x0，求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．解析：∵－10，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.根据不同的取值代入不同的解析式．类型二分段函数的图象及应用例2(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；(2)已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．①用分段函数的形式表示该函数；②画出该函数的图象；③写出该函数的值域．【解析】(1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2x0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.∴f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2x0.②函数f(x)的图象如图所示．③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．【答案】(1)[－1,2][－1,1)(2)见解析观察图象，求出定义域，值域．去绝对值，分－2x≤0与0x≤2两类．方法归纳分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．跟踪训练2函数y＝x2|x|的图象的大致形状是()解析：因为y＝x2|x|＝x，x0，－x，x0，所以函数的图象为选项A.答案：A方法一去绝对值，化为分段函数，画出函数图象．方法二通过函数图象过的特殊点，如(1,1)，(－1,1)进行检验．类型三映射的概念例3判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝12x.【解析】(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝12x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义.依据映射的概念逐一判断．方法归纳判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；(2)B中的对应元素是否是唯一的．[注意]“一对一”或“多对一”的对应都是映射．跟踪训练3(1)下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是()A．A＝R，B＝{y|y0}，f：x→y＝|x|B．A＝{x|x≥0}，B＝{x|y0}，f：x→y＝xC．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2(2)给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下(4,3)的原象为()A．(2,1)B．(4,3)C．(3,4)D．(10,5)解析：(1)A中当x＝0时，y＝0∉B，同理B错．C中，当x＝1时，y＝0∉B，故C不正确；由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，故D正确．(2)由题意知x＋2y＝4，2x－y＝3，解得x＝2，y＝1.∴映射f下(4,3)的原象为(2,1)．答案：(1)D(2)A利用对应法则．f(x，y)→(x＋2y，2x－y)