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1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法[目标导航]课标要求1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.素养达成通过函数三种表示方法的学习,培养学生直观想象与数学运算的核心素养.新知导学·素养养成1.函数的表示方法解析法,就是用表示两个变量之间的对应关系.图象法,就是用表示两个变量之间的对应关系.列表法,就是来表示两个变量之间的对应关系.数学表达式图象列出表格思考1:任何一个函数都可以用解析法表示吗?答案:不是,并不是所有的函数都可以用解析法表示,如某地区一天中每时每刻的温度,由于受自然影响较大,无法用函数解析式表示.思考2:函数f(x)=1中无自变量是一个函数解析式吗?答案:是.该函数的函数值不因自变量的变化而变化,是一个常值函数.2.函数的图象函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散点等.思考3:函数y=f(x)的图象的集合表示形式是什么?答案:若y=f(x)的定义域为A,则y=f(x)图象的集合表示形式是{(x,y)|y=f(x),x∈A}.名师点津(1)对画函数图象三个步骤的认识①列表:先找出一些有代表性的自变量x的值,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来.②描点:把第①步表格中的点(x,f(x))一一在坐标平面上描出来.③连线:用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.(2)函数的表示方法及其优缺点表示法列表法图象法解析法含义通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法用“图形”表示函数的方法如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)定义域表格中自变量x的取值集合图象在x轴上的投影使解析式有意义的自变量x的取值范围值域表格中,相应y的取值集合图象在y轴上的投影因变量y的取值范围优点不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值能直观、形象地表示自变量的变化情况及相应的函数值的变化趋势;可以直接应用图象来研究函数的某些性质一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值缺点不够全面,只能表示有限个元素间的函数关系,对于自变量中元素很多的函数,很难用列表法表示其关系,另外,不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律不能精确地求出与自变量对应的函数值并不是所有的函数都有解析式,而且通过它不能直观地观察到函数的变化规律(3)常用的图象变换①平移变换a.把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x+a)的图象;b.把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x)+a的图象.简记为“上加下减,左加右减”.②对称翻折变换a.形如y=f(-x)的函数,其函数图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;b.形如y=-f(x)的函数,其函数图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;c.形如y=-f(-x)的函数,其函数图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称;d.形如y=|f(x)|的函数,将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻转到x轴上方(下方部分不再保留),x轴上方的图象不变,从而得到函数y=|f(x)|的图象;e.形如y=f(|x|)的函数,可先作x0时f(x)的图象,然后将函数y=f(x)的图象y轴右边的部分翻折到y轴左边,y轴右边的图象不变,从而得到函数y=f(|x|)的图象.课堂探究·素养提升题型一函数图象的作法及应用[例1]作下列函数图象并由图象求值域.(1)y=1-x(x∈Z且|x|≤2);解:(1)函数y=1-x(x∈Z且|x|≤2)的定义域为{-2,-1,0,1,2},图象为五个点,这些点在直线y=1-x上.列表x-2-1012y3210-1所画函数图象如图所示,由图象可知函数值域为{-1,0,1,2,3}.(2)y=x2-2x-3(x∈R);解:(2)函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4,列表x…-10123…y…0-3-4-30…所画函数图象如图所示,由图象可知函数值域为{y|y≥-4}.解:(3)列表x2345…y1231225…当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=2x的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].(3)y=2x,x∈[2,+∞).一题多变1:本题(2)中,将x∈R改为x∈[-2,3],则函数图象有何变化,其值域是什么?解:当x∈[-2,3]时,函数的图象为y=x2-2x-3在[-2,3]上的一段(图略),且由于f(-2)=5,f(3)=0,因此函数值域为[-4,5].一题多变2:本题(2)中的函数y=x2-2x-3的图象可由y=x2的图象怎样变化而得到?解:由于y=x2-2x-3=(x-1)2-4,因此该函数图象可由y=x2的图象先沿x轴向右平移1个单位得到y=(x-1)2的图象后,再沿y轴向下平移4个单位而得到.一题多变3:将本题(3)中函数y=2x,x∈[2,+∞)改为[4,+∞)值域有什么变化?解:当x∈[4,+∞)时,函数值域为(0,12].误区警示作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心点.[备用例1](1)某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则四个图形中较符合该学生走法的是()(1)解析:d0随t的增加而减小,故排除选项A,C;又开始一段跑步比走路速度快,排除B.故选D.答案:(1)D(2)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(0)]=.(2)解析:由图象可知f(0)=4,f(4)=2,f[f(0)]=2.答案:(2)2(3)作下列函数的图象.①y=321xxx;(3)解:①y=321xxx=x2(x≠1),图象如图所示.②y=x2-2x+2,x∈(-1,2].(3)解:②y=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈(-1,2],图象如图所示.题型二函数解析式的求法[例2]根据条件求函数解析式:(1)已知f(x+1)=5x-3,求f(x)的解析式;解:(1)法一因为5x-3=5(x+1)-8,所以f(x+1)=5(x+1)-8,所以f(x)=5x-8.法二设t=x+1,则x=t-1,故f(t)=5(t-1)-3=5t-8,所以f(x)=5x-8.(2)已知f(x)是关于x的二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,求函数f(x)的解析式;解:(2)设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c,则由题意可得2201,112.fcaxbxcaxbxcx整理,得1,220,caxab即1,220,0,caab解得1,1,1.abc故f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.(3)已知f(x)+3f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.解:(3)因为f(x)+3f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+3f(x)=x2-2x,②由①②得f(x)=24x-x.方法技巧求函数解析式的四种常用求法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(4)解方程组法:已知关于f(x)与f(1x)或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).解:(1)因为f(x-1x)=x2+21x=(x-1x)2+2,将“x-1x”看成变量x,所以f(x)=x2+2.即时训练2-1:(1)已知f(x-1x)=x2+21x,求f(x)的解析式;解:(2)f(x)+2f(1x)=x(x≠0),令x=1x,得f(1x)+2f(x)=1x.于是得关于f(x)与f(1x)的方程组12,112.fxfxxffxxx解得f(x)=23x-3x(x≠0).(2)已知2f(1x)+f(x)=x(x≠0),求f(x)的解析式;解:(3)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(x+1)=kx+k+b,f(1-x)=k-kx+b,由f(x+1)+3f(1-x)=kx+k+b+3k-3kx+3b=-2kx+4k+4b=20-4x,知24,4420,kkb故k=2,b=3,所以f(x)=2x+3.(3)已知f(x)是一次函数,且f(x+1)+3f(1-x)=20-4x,求f(x)的解析式.解:(1)因为方程f(x)=-2x的两个实数根分别为1和3,所以设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),则f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.因为方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-(2+4a)]2-4a×9a=0,整理,得5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-15(舍去).故f(x)的解析式为f(x)=x2-6x+3.[备用例2](1)已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a0),且方程f(x)=-2x的两个实数根分别为1和3.若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求f(x)的解析式;(2)设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x)的解析式;解:(2)法一因为f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),所以令x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),所以f(x)=x2+x+1.法二令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).又令t=-y,代入上式,得f(t)=1-(-t)(t+1)=1+t(t+1),所以f(x)=x2+x+1.(3)已知函数f(x)为二次函数,顶点坐标为(-1,2),且f(0)=3,若g(x)是一次函数,当f[g(x)]=x2+6x+11时,求g(x)的解析式.解:(3)因为f(x)为二次函数且顶点坐标为(-1,2),所以设f(x)=a(x+1)2+2,又因为f(0)=3,所以a=1.所以f(x)=(x+1)2+2=x2+2x+3,设g(x)=kx+b(k≠0),则f[g(x)]=k2x2+2kbx+b2+2kx+2b+3=k2x2+2k(b+1)x+b2+2b+3=x2+6x+11,则221,216,2311,kkbbb解得1,2kb或1,4.kb综上可知g(x)=x+2或g(x)=-x-4.题型三易错辨析[例3](1)已知f(x+2)=x+3x+2,求函数f(x)的解析式;(2)已知f(2x+1)=21x+3x+2,求函数f(x)的解析式.错解:(1)令x+2=t,则x=(t-2)2,且x=t-2,则f(t)=(t-2)2+3(t-2)+2=t2-t,故f(x)=x2-x.(2)令2x+1=t,则1x=12t,则f(t)=214t+32(t-1)+2=24t+t+34.纠错:用换元法求函数解析式时,忽视了换元之后新元“t”的范围,事实上,(1)中含x+2=t,则t≥2;(2)中令2x+1=t,则t≠1.正解