2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1.2 函数的定义域与值域课件 新人

第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1.2.1函数的概念第2课时函数的定义域与值域[目标]1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点]函数相等的概念，求函数的值域．[难点]求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一函数相等[填一填]1．条件：①相同；②完全一致．2．结论：两个函数相等．定义域对应关系[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：函数定义域对应关系值域f1(x)＝xRx→xRf2(x)＝2xRx→2xRf3(x)＝x2[0,2]x→x2[0,4]f4(x)＝x2[－1,2]x→x2[0,4]对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f(x)是分式时，定义域是使分母不为的一切实数的集合．3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为的实数的集合．0非负值4．零(负)指数幂的底数不能为．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．零[答一答]2．函数f(x)＝x－1x－2＋(x－1)0的定义域为()A．{x|x≥1}B．{x|x1}C．{x|1≤x2或x2}D．{x|1x2或x2}D解析：要使函数有意义，则只需x－1≥0，x－2≠0，x－1≠0，解得1x2或x2，所以函数的定义域为{x|1x2或x2}．故选D.知识点三函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指其函数值的集合：{f(x)|x∈A}；二是函数的、是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．定义域对应关系[答一答]3．已知函数y＝x2，x∈{0,1,2，－1}，函数y＝x2的值域是什么？提示：当x＝0时，y＝0；当x＝±1时，y＝1；当x＝2时，y＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一函数相等的判断[例1]下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；②f(x)＝xx，g(x)＝xx；③f(x)＝x＋1·1－x，g(x)＝1－x2；④f(x)＝x＋32，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)．[解析]①不同，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不同，对应法则不同，f(x)＝1x，g(x)＝x.③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定义域、对应法则都相同．③⑤讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.解：(1)g(x)＝63x3＝6x，它与f(x)＝6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．(2)f(x)＝x2－9x－3＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二函数的定义域命题视角1：求具体函数的定义域[例2]求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y＝x＋2＋1x2－x－6；(2)y＝x＋10|x|－x.[解](1)要使函数有意义，则有x＋2≥0，x2－x－6≠0⇒x≥－2，x≠－2且x≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足x＋1≠0，|x|－x0，解得x≠－1，x0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2]求下列函数的定义域：(1)y＝1－x＋1x＋5；(2)y＝31－1－x.解析：(1)由已知得1－x≥0，x＋5≠0，解得x≤1且x≠－5.所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．(2)由已知得1－x≥0，1－1－x≠0，解得x≤1且x≠0.所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3](1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．[分析]在对应关系相同的情况下，f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．[解](1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤32.∴f(2x＋1)的定义域是－1，32.(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.∴f(x)的定义域是[－1,9]．因为fgx就是用gx代替了fx中的x，所以gx的取值范围与fx中的x的取值范围相同.若已知函数fx的定义域为[a，b]，则函数fgx的定义域是指满足不等式a≤gx≤b的x的取值范围；而已知fgx的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求fx的定义域，就是求x∈[a，b]时gx的值域.[变式训练3]若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)B解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．类型三求函数的值域[例4]求下列函数的值域．(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；(4)y＝5x－14x＋2.[解](1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x6，∴－16≤3x－15，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)．(4)y＝5x－14x＋2＝544x＋2－1－1044x＋2＝544x＋2－1444x＋2＝54－724x＋2.∵724x＋2≠0，∴y≠54，∴函数y＝5x－14x＋2的值域为{y∈R|y≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.1对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；2对于二次函数，可借助图象求函数的值域；3通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4]求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}；(2)y＝xx＋1；(3)y＝x2－4x，x∈[1,4]．解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}，∴y∈{1,3,7,9}．(2)∵y＝xx＋1＝x＋1－1x＋1＝1－1x＋1，且1x＋1≠0，∴函数y＝xx＋1的值域为{y|y≠1}．(3)配方，得y＝(x－2)2－4.∵x∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f(x)＝x＋1＋12－x的定义域为()A．[－1,2)∪(2，＋∞)B．(－1，＋∞)C．[－1,2)D．[－1，＋∞)解析：由x＋1≥0，2－x≠0，解得x≥－1且x≠2.故选A.A2．函数f(x)＝x2＋1(0x≤2且x∈N*)的值域是()A．{x|x≥1}B．{x|x1}C．{2,3}D．{2,5}解析：∵0x≤2且x∈N*，∴x＝1或x＝2.∴f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2,5}．D3．若函数f(x)与g(x)＝32－x－2是相等的函数，则函数f(x)的定义域是．解析：∵2－x－2≠0，∴x≠6，又x－2≥0，∴x≥2，∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)．故f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．[2,6)∪(6，＋∞)4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1x1}，则函数f(2x＋1)的定义域为．解析：因为f(x)的定义域为{x|－1x1}，所以－12x＋11，解得－1x0.所以f(2x＋1)的定义域为{x|－1x0}．{x|－1x0}5．试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1；(2)y＝5x＋4x－1；(3)y＝x－x＋1.解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝5x＋4x－1＝5＋9x－1，所以函数的值域为{y|y≠5}．(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－12)2－54，又t≥0，故y≥－54，所以函数的值域为{y|y≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．温示提馨请做：课时作业7PPT文稿（点击进入）学科素养培优精品微课堂复合函数与抽象函数开讲啦1.复合函数的概念如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围．(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围．(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同．[典例]若函数f(x)的定义域为[0,1]，求g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m0)的定义域．[解]∵f(x)的定义域为[0,1]，∴g(