2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念 第二课时 函数概念的

第二课时函数概念的应用[目标导航]课标要求1.明确函数的三要素,会判断两个函数是否相等.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域.素养达成通过本节课中函数值域的学习,培养学生数学运算的核心素养.新知导学·素养养成1.区间设a,b∈R,且ab,规定如下:[a,b]定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间.{x|axb}开区间.(a,b)[a,b){x|a≤xb}半开半闭区间.{x|ax≤b}半开半闭区间.{x|x≥a}[a,+∞)(a,b]{x|xa}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a]{x|xa}(-∞,a)R(-∞,+∞)思考1:是不是所有的数集都可以写成区间的形式?答案:不一定,只有连续的数集才能写成区间的形式,像M={2,3,4}这样的数集是不能用区间表示的.思考2:“∞”是一个数吗?答案:不是,“∞”是一个符号,是在表示区间时,在“∞”一边的一定是“开区间”而不能是“闭区间”.2.函数的三要素、对应关系、值域.定义域3.相等函数如果两个函数的相同,并且完全一致,我们就称这两个函数相等.定义域对应关系思考3:函数f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R是不是相等函数?答案:两个函数都是描述的同一集合R中任一元素,按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素,故是相等函数,由此可以看出,两个函数是否为相等函数,与函数用什么样的字母表示无关.方法技巧(1)区间概念的理解.①区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达方式,开或闭不能混淆.②若[a,b]是确定区间,则必有ab.③区间符号里面的两个字母(或数字)之间要用“,”隔开.④区间的几何表示:在数轴上表示区间时,用实心点表示在区间内的端点,用空心圈表示不包括在区间内的端点.⑤由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.(2)常见函数的值域.①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域、定义域均为R.②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)=a(x+2ba)2+244acba,当a0时,值域为{y︱y≥244acba},当a0时,值域为{y︱y≤244acba}.③反比例函数y=kx(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.课堂探究·素养提升题型一区间的表示[例1]把下列数集用区间表示:(1){x|x≥-1};(2){x|x0};(3){x|-1x1};(4){x|0x1或2≤x≤4}.解:(1){x|x≥-1}用区间表示为[-1,+∞).(2){x|x0}用区间表示为(-∞,0).(3){x|-1x1}用区间表示为(-1,1).(4){x|0x1或2≤x≤4}用区间表示为(0,1)∪[2,4].方法技巧用区间表示数集的方法:①区间左端点值小于右端点值;②区间两端点之间用“,”隔开;③含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号;④以“-∞”,“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.即时训练1-1:(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为;(2)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是.解析:(1)[0,2)∪(2,+∞).(2)因为2a+1a,所以a-1,即a∈(-1,+∞).答案:(1)[0,2)∪(2,+∞)(2)(-1,+∞)题型二相等函数的判定[例2](2019·四川省蓉城名校联盟高一上学期期中联考)下列各组函数中,表示同一组函数的是()(A)f(x)=x-2,g(x)=221xxx(B)f(x)=x,g(x)=2xx(C)f(x)=2x,g(x)=x(D)f(x)=21x,g(t)=21t解析:A.f(x)=x-2的定义域为R,g(x)=221xxx的定义域为{x|x≠-1},故不是同一函数;B.f(x)=x的定义域为R,g(x)=2xx的定义域为{x|x≠0},故不是同一函数;C.f(x)=2x=|x|,g(x)=x,两函数解析式不同,故不是同一函数;D.f(x)=21x,g(t)=21t,两函数对应关系与定义域相同,与用什么字母表示自变量无关.故选D.方法技巧判断两个函数相等的方法判断两个函数是否相等,要先求定义域,若定义域不同,则不相等;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同,则相等,否则不相等.即时训练2-1:下列各组函数是同一函数的是()(A)y=1,y=xx(B)y=1x×1x,y=21x(C)y=|x|,y=(x)2(D)y=(0),(0),xxxx＜y=|x|解析:对于A,函数y=xx的定义域为{x|x≠0},函数y=1的定义域为R,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即A不正确;对于B,函数y=1x×1x的定义域为{x|x≥1},函数y=21x的定义域为{x|x≥1或x≤-1},两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即B不正确;对于C,函数y=|x|的定义域为R,函数y=(x)2的定义域为{x|x≥0},两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即C不正确;对于D,两者的定义域和值域均相同,对应关系相同,所以是同一函数,即D正确.故选D.题型三求函数值域[例3]求下列函数的值域.(1)y=24x;(2)y=x2+2x,x∈{-2,0,1,2,3};解:(1)因为x2≥0,所以x2+4≥4.所以24x≥2.所以函数值域为[2,+∞).(2)令f(x)=x2+2x.由f(-2)=0,f(0)=0,f(1)=3,f(2)=8,f(3)=9+6=15.知函数值域为{0,3,8,15}.(3)y=22xx;(4)y=x-41x.解:(3)因为y=22xx=(2)42xx=1-42x.又因为42x≠0,所以y≠1.所以函数的值域为{y|y≠1}.即(-∞,1)∪(1,+∞).(4)设t=1x(t≥0),则x=t2+1(t≥0).则y=t2+1-4t=(t-2)2-3.如图.故函数的值域为{y|y≥-3}.即[-3,+∞).一题多变1:将本题(1)变为y=24x,y=24x,求值域.解:若y=24x,则由x2-4≥0知y≥0.即函数值域为[0,+∞).若y=24x,则由x2≥0知-x2≤0.故0≤4-x2≤4.则0≤24x≤2.故函数值域为[0,2].一题多变2:将本题(2)变为:①y=x2+2x(x∈R);②y=x2+2x(x∈[0,+∞));③y=x2+2x(x∈[-3,0)).分别求值域.解:因为y=x2+2x=(x+1)2-1.当x∈R时,y≥-1.故①中函数值域为[-1,+∞).当x∈[0,+∞)时,如图(1)可知函数值域为[0,+∞).当x∈[-3,0)时,如图(2)可知函数值域为[-1,3].一题多变3:将本题(3)变为y=22xx,x∈[0,+∞),求其值域.解:y=22xx=242xx=1-42x.因为x≥0,所以x+2≥2.所以012x≤12,所以-2≤-42x0.所以-1≤1-42x1.所以函数值域为[-1,1).方法技巧求函数值域的常用方法:(1)观察法:对于函数解析式结构较简单的,可以通过对解析式简单变形和观察后,利用熟悉的基本函数值域,求出函数的值域.如y=x≥0,y=x2≥0等;(2)逐值求解法:当函数定义域为有限元素构成的集合时,常用此法;(3)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方后结合二次函数的性质求值域,当函数为二次函数且定义域为给定的区间(非全体实数)时,还要利用二次函数图象求解.(4)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,利用该函数的值域求原函数的值域.用换元法求函数值域时,要注意换元后辅助元(也叫中间变量)的取值范围.例如,求形如y=ax+b±cxd(a,b,c,d均为常数,ac≠0)的函数的值域常用此法.(5)分离常数法:对于形如y=cxdaxb(a≠0)的函数,经常采用分离常数法,将cxdaxb变形为()abcaxbdcaaxb=ca+bcdaaxb,再结合x的取值范围确定bcdaaxb的取值范围,从而确定函数的值域.[备用例题]求下列函数的值域.(1)y=32x+4;(2)y=2x+1(|x|≤2);(3)y=-x2+2x+1(0≤x≤3);(4)y=2x+1x.解:(1)因为32x≥0,所以32x+4≥4.所以函数值域为{y|y≥4}.(2)因为|x|≤2,所以-2≤x≤2.所以-3≤2x+1≤5.所以函数值域为[-3,5].(3)y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2.如图为y=-x2+2x+1在x∈[0,3]时的大致图象,由图象可知函数值域为[-2,2].(4)令t=1x,则x=1-t2(t≥0).故y=2-2t2+t=-2(t-14)2+178.结合函数y=-2t2+t+2在[0,+∞)上的图象可知,函数的值域为{y︱y≤178}.题型四易错辨析[例4]已知集合A=(2m-1,m+1),集合B=(-3,5),若A⊆B,则实数m的取值范围是.错解:因为A=(2m-1,m+1),B=(-3,5)且A⊆B.所以当2m-1≥m+1即m≥2时,A=,满足A⊆B.当A≠时,由A⊆B知211,213,15.mmmm＜解得-1≤m2.综上可知,满足条件的m的取值范围为[-1,2)∪[2,+∞)=[-1,+∞).答案:[-1,+∞)纠错:集合A=(2m-1,m+1)中隐含条件2m-1m+1,因此不需要考虑A=时的情况.答案:[-1,2)正解:因为A=(2m-1,m+1),B=(-3,5)且A⊆B.所以211,213,15.mmmm＜解得-1≤m2.课堂达标C1.(2019·辽宁省葫芦岛协作校高一上学期第一次联考)函数f(x)=3x+2,x∈[0,1]的值域为()(A)R(B)[0,1](C)[2,5](D)[5,+∞)解析:因为x∈[0,1],所以0≤3x≤3.所以2≤3x+2≤5.选C.C2.若函数f(x)=(x)2与g(x)=x(x∈D)是相等函数,则D可以是()(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)[0,+∞)(D)(-∞,0]解析:函数f(x)的定义域为[0,+∞),即D=[0,+∞).故选C.C3.若集合A={x|y=1x},B={y|y=x2+2},则A∩B等于()(A)[1,+∞)(B)(1,+∞)(C)[2,+∞)(D)(0,+∞)解析:集合A表示函数y=1x的定义域,则A={x|x≥1},集合B表示函数y=x2+2的值域,则B={y|y≥2},故A∩B={x|x≥2}.B4.已知函数y=f(x)的定义域为A,值域为B,则关于函数y=2+f(x)的定义域、值域情况下列说法正确的是()(A)值域不变,定义域改变(B)定义域不变,值域改变(C)定义域、值域均不变(D)定义域、值域均改变解析:由于函数y=f(x)与y=2+f(x)定义域相同,因此定义域不变,值域改变.故选B.5.集合{x|x∈R,x≠-1且x≠2}用区间表示为.答案:(-∞,-1)∪(-1,2)∪(2,+∞)