2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3.2 补集及集合运算的综合应用课件

1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用第一章集合与函数概念课前自主预习1．全集(1)全集定义：．(2)全集符号表示：.□1如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集□2全集通常记作U2．补集的定义(1)自然语言：.(2)符号语言：∁UA＝．□3对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA□4{x|x∈U且x∉A}(3)图形语言：.□5用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示∁UA□61．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集一定含有元素．()(2)集合∁BC与∁AC相等．()(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()√××2．做一做(1)(教材改编P11T4)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于()A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}(2)(教材改编P11T4)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}(3)设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}课堂互动探究『释疑解难』1．全集理解全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集．如若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0x5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．2．补集理解(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：实数集合被减数a被减集合(全集)A减数b减集合B差a－b补(余)集∁AB(4)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．(5)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．探究1补集的简单运算例1(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x5}，则∁UA＝_______________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝__________________.{x|x－3或x＝5}{2,3,5,7}解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示.由补集定义可得∁UA＝{x|x－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．拓展提升求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．【跟踪训练1】(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝()A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{1,2,4}D．U(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为()A．{x∈R|0x2}B．{x∈R|0≤x2}C．{x∈R|0x≤2}D．{x∈R|0≤x≤2}解析(1)因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁UM＝{2,4,6}．(2)借助数轴(如图)易得∁UA＝{x∈R|0x≤2}．探究2交、并、补集的综合运算例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2x3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3x≤－2或x＝3}．拓展提升1.补集的性质及混合运算的顺序(1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.(2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.(3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．3．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．【跟踪训练2】已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|－3x0}，C＝{x|x≤1}．求：A∩C，A∪B，(∁RA)∩B.解A∩C＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x≤1}＝{x|－2≤x≤1}；A∪B＝{x|－2≤x≤2}∪{x|－3x0}＝{x|－3x≤2}；(∁RA)∩B＝{x|x－2或x2}∩{x|－3x0}＝{x|－3x－2}．探究3利用集合间的关系求参数例3已知集合A＝{x|2a－2xa}，B＝{x|1x2}，且A∁RB，求a的取值范围．解∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁RB，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.②若A≠∅，则有2a－2a，a≤1或2a－2a，2a－2≥2.∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.[条件探究]本例中若把“A∁RB”换成“A∩∁RB＝∅”，则a的取值范围为多少？解①若A＝∅，则a≥2满足题意．②若A≠∅，则需满足2a－2a，2a－2≥1，a≤2，解得32≤a2，综上所述a≥32.拓展提升利用补集求参数问题的方法(1)解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．(3)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．【跟踪训练3】已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x3}．(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A∁RB，求实数a的取值范围．解(1)∵B＝{x|1x3}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|xa}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．要使A∁RB，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.探究4补集思想的应用——正难则反例4若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取值范围．解假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则a≠0，Δ＝9－8a0，解得a98且a≠0，则此时实数a的取值范围是aa98且a≠0.在全集U＝R中，集合aa98且a≠0的补集是aa≥98或a＝0.所以满足题意的实数a的取值范围是aa≥98或a＝0.拓展提升运用补集思想解题的方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．【跟踪训练4】已知集合A＝{y|ya2＋1或ya}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．解因为A＝{y|ya2＋1或ya}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围，在数轴上表示集合A，B，如图所示．由a≤2，a2＋1≥4，得a≤2，a≥3或a≤－3，故a≤－3或3≤a≤2.即A∩B＝∅时，a的取值范围为a≤－3或3≤a≤2，故A∩B≠∅时，a的取值范围为a2或－3a3.1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.随堂达标自测1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}解析由题，知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0x1}．2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝()A．{3}B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2}D．{1,2,3}解析由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝()A．{1,2,7,8}B．{4,5,6}C．{0,4,5,6}D．{0,3,4,5,6}解析∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4,5,6}．4．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∪(∁UB)＝__________________.{1,2,3,6,7}解析由题可得∁UA＝{1,3,6}，∁UB＝{1,2,6,7}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,6,7}．5．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值．解A＝{－1,2}，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A.当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，B＝－1m.∴－1m＝－1或－1m＝2，即m＝1或m＝－12.综上，m的值为0,1，－12.