2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算（第2课时）全集、

第2课时全集、补集及综合应用第一章集合与函数概念考点学习目标核心素养全集、补集了解全集、补集的意义，正确理解符号∁UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集数学抽象、数学运算、直观想象集合交、并、补的综合运算会求解集合的交、并、补的集合问题数学运算、直观想象与补集相关的参数值(范围)的求解能正确利用补集的意义求解一些具体问题数学运算、直观想象第一章集合与函数概念问题导学预习课本P10－11，思考以下问题：(1)全集的含义是什么？(2)补集的含义是什么？(3)如何理解“∁UA”的含义？(4)如何用Venn图表示∁UA?1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__________，那么称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作_____．所有元素U■名师点拨全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素．2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的__________组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作_____符号语言∁UA＝_______________图形语言所有元素∁UA{x|x∈U，且x∉A}3.补集的性质(1)A∪(∁UA)＝_____．(2)A∩(∁UA)＝_____．(3)∁UU＝_____，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝_____．(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．U∅A∅■名师点拨∁UA的三层含义(1)∁UA表示一个集合．(2)A是U的子集，即A⊆U.(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数集问题的全集一定是R.()(2)集合∁BC与∁AC相等．()(3)A∩∁UA＝∅.()(4)一个集合的补集中一定含有元素．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝()A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{1，2，4}D．U解析：选A.因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}．设全集U＝R，集合P＝{x|－1≤x≤1}，那么∁UP＝()A．{x|x＜－1}B．{x|x＞1}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|x＜－1或x＞1}解析：选D.因为P＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以∁UP＝∁RP＝{x|x＜－1或x＞1}．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________．答案：5(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为()A．{x∈R|0x2}B．{x∈R|0≤x2}C．{x∈R|0x≤2}D．{x∈R|0≤x≤2}(2)设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________．补集的运算【解析】(1)借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0x≤2}．(2)法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．法二：可用Venn图表示则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．【答案】(1)C(2){－5，－4，3，4}{－5，－4，5}求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．若集合A＝{x|－1≤x1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁SA＝{x|x－1或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁SA＝{x|x－1或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁SA＝{x|－4≤x－1或x＝1}．(1)(2019·长沙高一检测)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．集合交、并、补的综合运算【解】(1)选A.因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，所以A∩(∁UB)＝{2，5}．(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1或x3}．又P＝xx≤0或x≥52，所以(∁UB)∪P＝xx≤0或x≥52.又∁UP＝x0x52，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1x2}∩x0x52＝{x|0x2}．1．(变问法)在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．解：画出数轴，如图所示：观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x52.2．(变条件)将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB)．解：画出数轴，如图所示：观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x2或3x≤5}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．解：如图．因为A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x－3或2x≤4}．所以A∩B＝{x|－2x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2x3}．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．与补集相关的参数值(范围)的求解【解】由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示，如图，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.(变条件)若将本例中的条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m－2，解得m2.所以m的取值范围是m2.由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1}，B＝{x|2axa＋3}，且B⊆∁RA，求实数a的取值范围．解：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}，①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2aa＋3，即－12≤a3.综上可得，实数a的取值范围是aa≥－12.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝()A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}解析：选C.由题意得，∁UP＝{2，4，6}，所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}．故选C.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}解析：选B.因为∁UB＝{x|x≤1}，所以A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．3．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2B．0C．1或2D．2解析：选D.由题意，知a＝2，a2－2a＋3＝3，得a＝2.4．设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解：把集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2x10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放