2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算(第2课时)全集、

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第2课时全集、补集及综合应用第一章集合与函数概念考点学习目标核心素养全集、补集了解全集、补集的意义,正确理解符号∁UA的含义,会求已知全集条件下集合A的补集数学抽象、数学运算、直观想象集合交、并、补的综合运算会求解集合的交、并、补的集合问题数学运算、直观想象与补集相关的参数值(范围)的求解能正确利用补集的意义求解一些具体问题数学运算、直观想象第一章集合与函数概念问题导学预习课本P10-11,思考以下问题:(1)全集的含义是什么?(2)补集的含义是什么?(3)如何理解“∁UA”的含义?(4)如何用Venn图表示∁UA?1.全集(1)定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的__________,那么称这个集合为全集.(2)记法:全集通常记作_____.所有元素U■名师点拨全集并不是一个含有任何元素的集合,仅包含所研究问题中涉及的所有元素.2.补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的__________组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作_____符号语言∁UA=_______________图形语言所有元素∁UA{x|x∈U,且x∉A}3.补集的性质(1)A∪(∁UA)=_____.(2)A∩(∁UA)=_____.(3)∁UU=_____,∁U∅=U,∁U(∁UA)=_____.(4)(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B).(5)(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B).U∅A∅■名师点拨∁UA的三层含义(1)∁UA表示一个集合.(2)A是U的子集,即A⊆U.(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)数集问题的全集一定是R.()(2)集合∁BC与∁AC相等.()(3)A∩∁UA=∅.()(4)一个集合的补集中一定含有元素.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM=()A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U解析:选A.因为集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},所以∁UM={2,4,6}.设全集U=R,集合P={x|-1≤x≤1},那么∁UP=()A.{x|x<-1}B.{x|x>1}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-1或x>1}解析:选D.因为P={x|-1≤x≤1},U=R,所以∁UP=∁RP={x|x<-1或x>1}.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若∁AB={5},则实数m=________.答案:5(1)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},则集合A={x∈R|-2≤x≤0}的补集∁UA为()A.{x∈R|0x2}B.{x∈R|0≤x2}C.{x∈R|0x≤2}D.{x∈R|0≤x≤2}(2)设U={x|-5≤x-2,或2x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则∁UA=________,∁UB=________.补集的运算【解析】(1)借助数轴易得∁UA={x∈R|0x≤2}.(2)法一:在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},所以∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.法二:可用Venn图表示则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.【答案】(1)C(2){-5,-4,3,4}{-5,-4,5}求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.(2)如果所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解.若集合A={x|-1≤x1},当S分别取下列集合时,求∁SA.(1)S=R;(2)S={x|x≤2};(3)S={x|-4≤x≤1}.解:(1)把集合S和A表示在数轴上,如图所示.由图知∁SA={x|x-1或x≥1}.(2)把集合S和A表示在数轴上,如图所示.由图知∁SA={x|x-1或1≤x≤2}.(3)把集合S和A表示在数轴上,如图所示.由图知∁SA={x|-4≤x-1或x=1}.(1)(2019·长沙高一检测)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}(2)已知全集U=R,A={x|-4≤x2},B={x|-1x≤3},P=xx≤0或x≥52,求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP).集合交、并、补的综合运算【解】(1)选A.因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,3,4,6,7},所以∁UB={2,5,8}.又A={2,3,5,6},所以A∩(∁UB)={2,5}.(2)将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.因为A={x|-4≤x2},B={x|-1x≤3},所以A∩B={x|-1x2},∁UB={x|x≤-1或x3}.又P=xx≤0或x≥52,所以(∁UB)∪P=xx≤0或x≥52.又∁UP=x0x52,所以(A∩B)∩(∁UP)={x|-1x2}∩x0x52={x|0x2}.1.(变问法)在本例(2)的条件下,求(∁UA)∩(∁UP).解:画出数轴,如图所示:观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)=x2≤x52.2.(变条件)将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5},且全集U=P,A,B不变,求A∪(∁UB).解:画出数轴,如图所示:观察数轴可知A∪(∁UB)={x|x2或3x≤5}.解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2x3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB).解:如图.因为A={x|-2x3},B={x|-3≤x≤2},所以∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4},∁UB={x|x-3或2x≤4}.所以A∩B={x|-2x≤2},(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},A∩(∁UB)={x|2x3}.设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2x4},全集U=R,且(∁UA)∩B=∅,求实数m的取值范围.与补集相关的参数值(范围)的求解【解】由已知A={x|x≥-m},得∁UA={x|x-m},因为B={x|-2x4},(∁UA)∩B=∅,在数轴上表示,如图,所以-m≤-2,即m≥2,所以m的取值范围是m≥2.(变条件)若将本例中的条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?解:由已知得A={x|x≥-m},所以∁UA={x|x-m},又(∁UA)∩B≠∅,所以-m-2,解得m2.所以m的取值范围是m2.由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.已知全集U=R,集合A={x|x-1},B={x|2axa+3},且B⊆∁RA,求实数a的取值范围.解:由题意得∁RA={x|x≥-1},①若B=∅,则a+3≤2a,即a≥3,满足B⊆∁RA;②若B≠∅,则由B⊆∁RA,得2a≥-1且2aa+3,即-12≤a3.综上可得,实数a的取值范围是aa≥-12.1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}解析:选C.由题意得,∁UP={2,4,6},所以(∁UP)∪Q={1,2,4,6}.故选C.2.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)=()A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}解析:选B.因为∁UB={x|x≤1},所以A∩(∁UB)={x|0<x≤1}.3.已知全集U={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁UA={3},则实数a等于()A.0或2B.0C.1或2D.2解析:选D.由题意,知a=2,a2-2a+3=3,得a=2.4.设全集为R,A={x|3≤x7},B={x|2x10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解:把集合A,B在数轴上表示如下:由图知,A∪B={x|2x10},所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10},因为∁RA={x|x3或x≥7},所以(∁RA)∩B={x|2x3或7≤x10}.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放

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