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第二课时补集及集合运算的综合应用[目标导航]课标要求1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算.3.体会数形结合思想及补集思想的应用.素养达成1.通过补集概念的学习,培养学生数学抽象的核心素养.2.通过利用Venn图加深对集合补集的理解,培养学生数形结合的思想意识.新知导学·素养养成1.全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集.通常记作.所有元素U2.补集自然语言对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作.符号语言∁UA=.图形语言不属于集合A∁UA{x|x∈U,且x∉A}思考1:集合A与其补集能有公共元素吗?答案:由一个集合的补集的定义可知,集合A与其补集没有公共元素.思考2:如何理解全集与补集的关系?答案:(1)全集是涵盖了所有研究对象的一个集合,它因研究的问题而异,是一个相对概念;(2)研究补集时,一定要搞清楚是相对于哪个全集的补集,同一个集合相对于不同的全集,其补集是不同的;(3)∁UA表示U为全集时A的补集,如果全部换成其他集合(如R)则∁UA中U也必须换成相应的集合(如∁RA);(4)∁UA包括两个方面:首先A⊆U,即A是U的子集,其次是∁UA={x|x∈U,且x∉A}.3.补集的运算性质性质说明A∪∁UA=U集合A与A的补集的并集是全集A∩∁UA=集合A与A的补集的交集是空集∁U(∁UA)=A集合的补集的补集是集合本身∁UU=,∁U=U全集的补集是空集,空集的补集是全集名师点津(1)由全集与补集的概念及其Venn图,我们还可以得到补集的如下性质:①若A⊆B,则∁UA⊇∁UB,反之,若∁UA⊇∁UB,则A⊆B,这可利用∁U(∁UA)=A得到.②若A=B,则∁UA=∁UB;反之,若∁UA=∁UB,则A=B.(2)∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB,利用Venn图表示为如图所示的阴影部分.(3)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),利用Venn图表示为如图所示的阴影部分.课堂探究·素养提升题型一集合的补集运算[例1](1)已知A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1},∁UB={-3,-2,0},用列举法写出集合B.解:(1)因为A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1},所以U=A∪(∁UA)={-3,-2,-1,0,1,2}.又因为∁UB={-3,-2,0},所以B={-1,1,2}.(2)若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},且集合A={x|-3≤x≤0或1x≤2},求∁UA.解:(2)由补集的定义可知∁UA表示的集合为图中阴影部分所示,即∁UA={x|0x≤1或2x≤3}.方法技巧求集合的补集运算的方法:(1)若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.(2)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解.即时训练1-1:设U={x|-5≤x-2,或2x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},求∁UA,∁UB.解:法一在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},所以∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.法二可用Venn图表示.则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.[备用例1](1)设U={0,1,2,3},A={x|x2+mx=0}.若∁UA={1,2},则实数m=.(2)因为A={x|x10},所以∁RA={x|x≤10}.又B={x|x-2a},则使B∁RA时,-2a≤10,即a≥-5.(2)设全集U=R,A={x|x10},B={x|x+2a0},B∁RA,则实数a的取值范围是.解析:(1)因为U={0,1,2,3},∁UA={1,2},所以A={0,3}.又A={x|x2+mx=0},所以m=-3.答案:(1)-3(2){a|a≥-5}(3)设全集I={2,3,x2+2x-3},A={5},∁IA={2,y},求x,y的值.(3)解:因为A⊆I,所以5∈I,所以x2+2x-3=5,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.因为y∈∁IA,所以y∈I,且y∉A,即y≠5.所以y=2或y=3.又由∁IA中元素的互异性知:y≠2,所以y=3.综上知,x=-4或x=2,y=3.题型二集合交集、并集、补集混合运算[例2]已知集合S={x|1x≤7},A={x|2≤x5},B={x|3≤x7}.求:(1)(∁SA)∩(∁SB);(2)∁S(A∪B);(3)(∁SA)∪(∁SB);(4)∁S(A∩B).解:因为S={x|1x≤7},A={x|2≤x5},B={x|3≤x7}.所以∁SA={x|1x2或5≤x≤7},∁SB={x|1x3}∪{7}.A∩B={x|3≤x5},A∪B={x|2≤x7},由此可得(1)(∁SA)∩(∁SB)={x|1x2}∪{7}.(2)∁S(A∪B)={x|1x2}∪{7}.(3)(∁SA)∪(∁SB)={x|1x3}∪{x|5≤x≤7}={x|1x3或5≤x≤7}.(4)法一A∩B={x|3≤x5},所以∁S(A∩B)={x|1x3或5≤x≤7}.法二∁S(A∩B)={x|1x3}∪{x|5≤x≤7}={x|1x3或5≤x≤7}.方法技巧(1)求解与一个确定的集合的补集有关的交、并、补运算,应理清运算顺序,先求补集,再求与补集有关的运算.(2)求解本题也可以直接利用补集的有关运算性质:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)与∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)求解.即时训练2-1:设全集U=R,集合A={x|-2x3},B={x|-3x≤3},求∁UA,A∩B,∁U(A∩B),(∁UA)∩B.解:因为U=R,A={x|-2x3},B={x|-3x≤3},所以∁UA={x|x≥3或x≤-2},A∩B={x|-2x3},∁U(A∩B)={x|x≥3或x≤-2},(∁UA)∩B={x|x≥3或x≤-2}∩{x|-3x≤3}={x|-3x≤-2或x=3}.[备用例2](1)(2019·山西省实验中学高一上第一次月考)已知集合A={x|xa},B={x|1x2}且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是()(A)a≥2(B)a2(C)a≤1(D)a1(1)解析:因为A={x|xa},B={x|1x2},所以∁RB={x|x≤1或x≥2},因为A∪(∁RB)=R,则a≥2,故选A.(2)已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值.(2)解:因为B∩(∁UA)={2},所以2∈B,但2∉A.因为A∩(∁UB)={4},所以4∈A,但4∉B.所以2244120,220,abab解得8,712.7ab所以a,b的值分别为87,-127.题型三Venn图在集合运算中的应用[例3]已知全集U={2,3,5,7,11,13,17,19}.若A∩(∁UB)={3,5},(∁UA)∩B={7,19},(∁UA)∩(∁UB)={2,17},求集合A,B.解:由U={2,3,5,7,11,13,17,19},根据题设条件可画出如图所示的Venn图.故A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.方法技巧(1)集合运算问题中若全集元素个数较少,且各元素之间是离散的,求已知条件中含全集子集的交、并、补集运算时,可借助Venn图求解.(2)使用Venn图解题时,对于全集U可被全集的两个子集A,B分成以下四部分,如图.Ⅰ.A∩(∁UB);Ⅱ.A∩B;Ⅲ.(∁UA)∩B;Ⅳ.∁U(A∪B)(或(∁UA)∩(∁UB)).即时训练3-1:(2019·江西省南昌市八一中学、洪都中学高一联考)已知全集U=R,集合A={0,1,2,3,4},B={x|x2或x0},则图中阴影部分表示的集合为()(A){0,1,2}(B){1,2}(C){3,4}(D){0,3,4}解析:因为全集U=R,集合A={0,1,2,3,4},B={x|x2或x0},所以∁UB={x|0≤x≤2},所以图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB={0,1,2},故选A.(1)解析:作出满足题意的Venn图,如图所示,易知M∩(∁UN)=,故选B.[备用例3](1)对于全集U的子集M,N,若M是N的真子集,则下列集合中必为空集的是(A)(∁UM)∩N(B)M∩(∁UN)(C)(∁UM)∩(∁UN)(D)M∩N(2)如图,请用集合U,A,B,C分别表示下列部分所表示的集合:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ.(2)解:区域Ⅰ是三个集合的公共部分,因此I=A∩B∩C;区域Ⅱ是集合A与B的交集与集合C在U中的补集的交集,因此Ⅱ=(A∩B)∩(∁UC);区域Ⅲ是集合A与C的交集与集合B在U中的补集的交集,因此Ⅲ=(A∩C)∩(∁UB);区域Ⅳ是集合B与C的交集与集合A在U中的补集的交集,因此Ⅳ=(B∩C)∩∁UA;区域Ⅴ是集合A与集合B∪C在U中的补集的公共部分构成的,因此V=A∩[∁U(B∪C)];同理可求Ⅵ=C∩[∁U(A∪B)],Ⅶ=B∩[∁U(A∪C)].而区域Ⅷ是三个集合A,B,C在U中的补集,因此Ⅷ=∁U(A∪B∪C).题型四补集思想的应用[例4]已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.(1)若(∁RA)∪B≠R,求a的取值范围;规范解答:(1)因为A={x|0≤x≤2},所以∁RA={x|x0或x2}.…………………………2分设(∁RA)∪B=R,如图,所以a≤0且a+3≥2,…………………4分即-1≤a≤0,………………………………5分所以满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a-1或a0}.……7分(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.规范解答:(2)若A∩B=A,则A⊆B,又A≠,则0,32,aa得0,1.aa即-1≤a≤0.………………………………………10分所以当A∩B≠A时,a的取值范围为{a|-1≤a≤0}的补集,即{a|a-1或a0}.…………………………………12分一题多变:本题中已知条件不变,若(∁RA)∩B≠B,求a的取值范围.解:因为A={x|0≤x≤2},所以∁RA={x|x0或x2}.假设(∁RA)∩B=B,则B⊆(∁RA).如图,则a+30或a2,即a-3或a2.所以当(∁RA)∩B≠B时,a的取值范围是{a|-3≤a≤2}.方法技巧求解数学问题时,若从问题的正面不易求解,可考虑问题的反面,这也就是“正难则反”的策略,这种“正难则反”的解题方法,运用的是补集思想,补集思想的一般思路是设全集为U,求其子集A,若直接求A较为困难,可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A,求A.学霸经验分享区(1)涉及不等式解集的补集时,应先解不等式化简不等式后再求补集;(2)求解与集合的补集有关的混和运算时,应先求补集后再进行集合的其他运算.课堂达标A1.设集合U=R,M={x|x2或x-2},则∁UM等于()(A){x|-2≤x≤2}(B){x|-2x2}(C){x|x-2或x2}(D){x|x≤-2或x≥2}解析:由M={x|x2或x-2}知∁UM={x|-2≤x≤2}.选A.A解析:U=(∁UM)∪M={0,2,4,6}.选A.2.设全集为U,M={0,2,4},∁UM={6},则U等于()(A){0,2,4,6}(B){0,2,4}(C){6}(D)D3.(2018·甘肃省张掖市高一上学期期末)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4