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第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示第一课时集合的含义[目标导航]课标要求1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.了解集合中元素的确定性、无序性和互异性.3.掌握数学中一些常用的数集及其记法.素养达成通过对集合概念的学习,培养学生数学抽象的核心素养.新知导学·素养养成研究对象1.集合的概念(1)一般地,我们把统称为元素,把一些元素组成的叫做集合.总体(2)集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.思考1:如何理解集合的定义?答案:集合定义中的两个关键词:“对象”“总体”即集合是一个整体,且构成集合的对象必须是确定的,具有明确的特征,而一些含有模棱两可的词语如“个子比较高的人”,“优秀的科学家”等都不是数学意义上的集合,因为他们没有具体的标准.2.集合中元素的特性,互异性,无序性.确定性思考2:怎样理解集合中元素的三个特性?答案:理解集合中元素的三个特征,可以根据以下表格中的“含义”与“示例”理解.特征含义示例确定性确定性是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必居其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准给定集合{a,b,c},可知a在该集合中,d不在该集合中互异性互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素集合{a,2}应满足a≠2无序性无序性是指组成集合的元素间无先后顺序之分集合{a,b,c}和{b,c,a}是同一个集合3.集合相等只要构成两个集合的元素是的,我们就称这两个集合是相等的.一样4.元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于集合A.a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A.a不属于集合Aa∈Aa∉A思考3:如何理解元素a与集合A的关系?答案:a∈A与a∉A取决于a是否是集合A中的元素,根据集合中元素的确定性,元素a与集合A,在a∈A与a∉A中必有一种,且只有一种成立.5.常用数集及其记法常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集(或自然数集).所有正整数的集合.N*或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集.全体实数的集合实数集.N正整数集QR课堂探究·素养提升题型一集合的概念例1](2018·河北邢台联考)在“①个子较高的人;②所有的正方形;③方程x2+6=0的实数解”中,能够表示成集合的是()(A)②(B)③(C)①②③(D)②③解析:①个子较高的人,不满足集合中元素的确定性,不能构成集合;②所有的正方形满足集合元素的确定性、互异性,可以构成集合;③方程x2+6=0的实数解,能构成集合.故选D.方法技巧判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准,给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的,如果是“确定无疑”的,就可构成集合,如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.解析:A,B,D都是集合,因为3的近似值的全体不满足集合中元素的确定性,不是集合.故选C.即时训练1-1:(2018·江西省临川实验学校高一上)下列各组对象不能构成一个集合的是()(A)不超过20的非负实数(B)方程x2-9=0在实数范围内的解(C)3的近似值的全体(D)某实验学校2017年在校身高超过170厘米的同学的全体[备用例1]下列对象能构成集合的是.①数组1,3,5,1;②不等式x+23的实数解;③所有斜边长为5的直角三角形;④著名的斯诺克球手;⑤某校高一(3)班中成绩优秀的同学.解析:①中有重复数字1,不能构成集合;②③可构成集合;④⑤中元素不确定,不能构成集合.答案:②③题型二集合中元素的性质[例2](12分)已知集合A由元素a+2,2a2+a构成,若3∈A,求实数a的值.规范解答:因为3∈A,所以a+2=3或2a2+a=3.………………………………3分当a+2=3时,a=1,此时2a2+a=3,不满足集合中元素的互异性,舍去.………6分当2a2+a=3时,a=1(舍去)或a=-32.……………………………………………9分经检验a=-32满足题意,故a=-32.…………………………………………12分一题多变1:本题中若改为:集合A由元素a+2,2a2+a构成,求实数a的取值范围.解:根据集合中元素的互异性可知,a+2≠2a2+a,即a2≠1,所以a≠±1.故a的取值范围是a≠±1.一题多变2:已知集合A由元素3,2a2+a构成,若元素2+a∈A,求实数a的值.解:因为2+a∈A,所以2+a=3或2+a=2a2+a.若2+a=3,则a=1,此时,2a2+a=3,不满足集合中元素的互异性,舍去.若2+a=2a2+a,则a=-1或a=1(舍去).经检验,a=-1满足条件,故a=-1.误区警示已知元素与集合的关系,求解集合中元素所含参数问题,要检验所求参数值是否满足集合中元素的互异性.[备用例2]集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则求出a的值,若不能,则说明理由.解:因为9∈A,所以2a-1=9或a2=9,若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25,B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9,B中的元素为9,-8,4,符合题意.综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.题型三元素与集合之间的关系[例3]集合A是由形如m+3n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-3,b=133,c=(1-23)2与集合A的关系.解:因为a=-3=0+(-1)×3,而0,-1∈Z,故a∈A,因为b=133=33(33)(33)=12+36,而12,16∉Z,故b∉A,因为c=(1-23)2=13-43,而13,-4∈Z,故c∈A.方法技巧元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系,判断一个元素是否属于某集合,一是明确集合中的所含元素的共同特征;二是看元素是否满足集合中元素的共同特征,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系.即时训练3-1:已知不等式4x-50的解集为M.(1)试判断0,2与集合M的关系;(2)若a∉M,求实数a的取值范围.解:(1)因为4×0-50,故0不是集合M中的元素,所以0∉M;因为4×2-5=30,故2∈M.(2)因为a∉M,所以a应是不等式4x-5≤0的解集中的元素,所以4a-5≤0,所以a≤54.解析:因为x∈N,且63x∈N.所以0≤x≤2且x∈N.当x=0时,63x=63=2∈N.当x=1时,63x=62=3∈N.当x=2时,63x=632=6∈N.故A中有元素0,1,2,共3个.[备用例3]集合A中的元素x满足63x∈N,x∈N,则集合A中的元素有个.答案:3题型四易错辨析[例4]方程x2-(2+a)x+2a=0的解集中元素的个数是()(A)1(B)2(C)1或2(D)不能确定错解:因为x2-(2+a)x+2a=(x-2)(x-a)=0.所以x=2或x=a.故选B.纠错:上述解题过程中没有注意到字母a的取值具有不确定性.正解:因为x2-(2+a)x+2a=(x-2)(x-a)=0,所以当a≠2时,方程有两个解是2和a,当a=2时方程只有一个解是2.因此应选C.学霸经验分享区(1)元素与集合之间的关系只有“属于”与“不属于”两种.∈和∉具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R∈0是错误的.(2)根据集合中元素特征求字母的取值(范围)时,要注意检验所求值域(或范围)是否满足集合中元素的性质.课堂达标D1.下列对象能构成集合的是()(A)高一年级全体较胖的学生(B)sin30°,sin45°,cos60°,1(C)全体很大的自然数(D)平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点解析:由于较胖与很大没有一个确定的标准,因此A,C不能构成集合;对于B中由于sin30°=cos60°不满足互异性;对于D满足集合的三要素.因此选D.C2.由“book”中的字母构成的集合中的元素个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由“book”中的字母构成的集合中只有3个元素,即b,o,k,故选C.3.所给下列关系正确的个数是()①-12∈R;②2∉Q;③0∈N+;④-3∉N.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:-12是实数,2是无理数;-3不是自然数,故①②④正确;而N+表示正整数集,故③不正确.故选C.CC4.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()(A)1(B)-2(C)6(D)2解析:由题意得a2≠2-a,且a2≠4,且2-a≠4,解得a≠1,a≠±2,故选C.5.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x=.解析:因为x2∈A,所以x2=1,或x2=0,或x2=x,所以x=±1,或x=0,当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1.答案:-1