2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合

1.1集合1.1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示目标定位重点难点1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.重点：集合的表示方法.难点：准确理解集合中代表元素的表现形式.1.列举法表示集合把集合的元素________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.一一列举2.描述法表示集合(1)定义：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的___________________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__________.共同特征一般符号及取值(或变化)范围共同特征1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.()(2)集合{(1,2)}中含有两个元素.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合.()【答案】(1)×(2)×(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用列举法表示方程x2－4＝0的解集为________.(2)用描述法表示大于1且小于5的实数的集合为____________.【答案】(1){－2,2}(2){x∈R|1x5}【解析】虽然两个集合中表示的元素的字母不同，但实质上它们均表示小于2的所有实数构成的集合，故它们表示同一个集合.3.思一思：集合x∈Rx2与集合y∈Ry2表示的是同一个集合吗？用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合.(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解.【解题探究】解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写.【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}.(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.(4)解方程组x＋y＝1，x－y＝－1，得x＝0，y＝1.∴用列举法表示方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解集为{(0,1)}.【方法规律】1.对于元素个数较少的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.2.用列举法表示集合的步骤：(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.1.已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B．【解析】对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B，又B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.【例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.【解题探究】解答此类问题要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件，并能正确运用符号语言或自然语言写出描述条件.用描述法表示集合【解析】(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.【特别提醒】用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.2.下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？【解析】(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合.(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．【解题探究】明确集合A的含义，并对k加以讨论，求出k的值，并写出集合A．【解析】(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}.集合表示的综合应用(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.【特别提醒】1.本例易忽略对k的讨论而想当然地认为kx2－8x＋16＝0是一元二次方程，从而导致漏解.2.A中有一个元素是指x只有一解而不是k只有一解.3.(1)例3中，若1∈A，试用列举法表示A；(2)例3中，若集合A中含有两个元素，求k的取值范围.【解析】(1)∵1∈A，∴k－8＋16＝0，k＝－8.∴方程－8x2－8x＋16＝0的解为x1＝1，x2＝－2.∴A＝{1，－2}.(2)∵A中含有两个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个不同的实根，即k≠0，Δ＝64－64k0.∴k＜1且k≠0，即k∈{k|k＜1，且k≠0}.【示例】用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2－1，－1≤x≤1且x∈Z}为________.【错解】注意到x＝－1,0,1，∴y＝x2－1＝0或－1，因此集合A＝{0，－1}.描述法与列举法相互转化的误区【错因】1.没能看清集合的代表元素，错以为求关于y的取值的数集.2.对列举法表示集合的实质认识不清，对集合理解不到位，个别同学错得A＝{x＝－1，y＝0或x＝0，y＝－1或x＝1，y＝0}.【正解】由于－1≤x≤1且x∈Z，所以x＝－1,0,1.当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝0.所以A＝{(－1,0)，(0，－1)，(1,0)}.【警示】研究一个集合时，首先应看集合元素的表示形式，再看此集合元素的公共属性.1.表示集合的要求(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.方程组x＋y＝1，x2－y2＝9的解集是()A．(－5,4)B．(5，－4)C．{(－5,4)}D．{(5，－4)}【答案】D【解析】解方程组x＋y＝1，x2－y2＝9，得x＝5，y＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D．2.下列四个集合中，不同于另外三个的是()A．{y|y＝2}B．{x＝2}C．{2}D．{x|x2－4x＋4＝0}【答案】B【解析】集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3.给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy0}；②方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的.其中正确的是________.(填写正确说法的序号)【答案】①【解析】直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；方程x－2＋|y＋2|＝0等价于x－2＝0，y＋2＝0，即x＝2，y＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或x，yx＝2，y＝－2，故②不正确；集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确.4．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，集合B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________．【答案】{2000,2001,2004}【解析】由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000，2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．