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1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位重点难点1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.重点：集合的概念、集合中元素的特征及集合的表示方法.难点：对集合含义、集合中元素特性的理解以及简单的运用.1.元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把____________统称为元素.(2)集合：把一些________组成的总体叫做集合(简称为集).(3)集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，我们就称这两个集合是相等的.(4)集合元素的特性：________、________、无序性.研究的对象元素元素确定性互异性2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果__________的元素，就说a属于集合A______a属于集合A不属于如果____________中的元素，就说a不属于集合A______a不属于集合Aa是集合Aa∈Aa不是集合Aa∉A3.数集及表示符号名称自然数集______整数集______实数集符号NN*或N＋ZQ______正整数集有理数集R1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)漂亮的花组成集合.()(2)2015年所有诺贝尔奖获得者组成集合.()(3)在一个集合中可以找到两个相同的元素.()【答案】(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用“∈”和“∉”填空：－3________N*；π______Q；3.14________R.(2)若a2＝5，则a______R，若a2＝－3，则a______R.【答案】(1)∉∉∈(2)∈∉3.思一思：若a∈N，但a∉N＋，你能确定a的值吗？【解析】由条件可知，a是自然数中除正整数以外的数，故a＝0.集合的基本概念【例1】下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体.【解题探究】根据本题所列举的元素是否具有确定性进行判断.【解析】(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合.(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以(4)不能构成集合.【方法规律】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性.1.下列所给的对象能构成集合的是________.(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生.【答案】(1)(4)【解析】(2)不能，“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(1)，(4)都能构成集合.【解题探究】解题的关键是理解自然数N的意义和元素与集合的关系.【答案】B元素与集合的关系【例2】下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*A．1B．2C．3D．4【解析】①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误.故①②是正确的.【方法规律】1.要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.2.判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：当集合中的元素是直接给出时，首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.【答案】0,1,22．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【解析】∵x∈N，63－x∈N，∴0≤x≤2且x∈N．当x＝0时，63－x＝63＝2∈N；当x＝1时，63－x＝63－1＝3∈N；当x＝2时，63－x＝63－2＝6∈N．∴A中元素有0,1,2．【例3】已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.【解题探究】使集合B中的两个元素分别等于－3，解得a的值，最后要注意验证是否符合元素的互异性.集合中元素的特性及应用【解析】∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【方法规律】1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要注意集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.3.已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.【答案】1【解析】∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1时，a＋1＝0，A中元素重复，不符合题意；a＝1时，a＋1＝2，A＝{2,0}，符合题意.∴a＝1.【示例】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值.【错解】由1∈A，得a＝1或a2＝1，解得a＝±1.【错因】错解没有注意到字母a的取值对元素的互异性的影响，得到了错误答案，事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性.忽视集合元素的互异性而致误【正解】若1∈A，则a＝1或a2＝1，解得a＝1或－1.(1)当a＝1时，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异性，故a≠1.(2)当a＝－1时，集合A中含有两个元素－1和1，符合集合元素的互异性.综上所述，a＝－1.【警示】1.涉及含参数的集合问题，切勿忽视集合元素的互异性，务必将求得的参数取值代入，验证是否满足集合中元素的互异性，进而对结果进行取舍.2.若方程中字母参数影响解的取值，要选择恰当分类标准，注意分类讨论思想的应用.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的高个子中学生D．联合国常任理事国【答案】D【解析】A，B，C中研究的对象不确定，因此不能构成集合.2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是()A．0∈AB．a∉AC．a∈AD．a＝A【答案】C【解析】由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A．元素a与集合A的关系不能用“＝”，故选C．3．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【答案】A【解析】由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．【答案】3【解析】①②③是正确的；④⑤是错误的.4.已知①5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________.5.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.【答案】2或4【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去，所以a＝2或a＝4.