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第一章集合§3集合的基本运算3．2全集与补集自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．2．能用Venn图直观解释集合的关系及运算.1．全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的______，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．子集2．补集自然语言设U是全集，A是U的一个子集，则由__________________的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)符号语言∁UA＝____________________图形语言U中所有不属于A{x|x∈U，且x∉A}练一练：若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁MN＝()A．∅B．{1,3,5}C．{2,4}D．{1,2,3,4,5}解析：∁MN＝{1,3,5}．答案：B1．怎样理解全集与补集？答：(1)全集是一个相对的概念，包含所研究问题中所涉及的所有元素；补集只相对于相应的全集而言．例如我们在整数范围内研究问题时，Z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．(2)同一个集合在不同的全集中补集不同，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．(3)符号∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．2．补集的性质有哪些？答：(1)∁UA⊆U；∁UU＝∅；∁U∅＝U；∁U(∁UA)＝A．(2)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅.(3)A⊆B⇔∁UB⊆∁UA．3．并集、交集、补集有何关系？答：(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．典例精析规律总结2课堂互动探究(1)全集U＝{0,1,3,5,6,8}，集合A＝{1,5,8}，B＝{2}，则集合(∁UA)∪B＝()A．{0,2,3,6}B．{0,3,6}C．{2,1,5,8}D．∅(2)已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁AB＝{1,3,5}，则集合B＝()A．{2,4}B．{2,3,4}C．{0,1,3}D．{0,2,4}【解析】(1)∵U＝{0,1,3,5,6,8}，A＝{1,5,8}，∴∁UA＝{0,3,6}，又∵B＝{2}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,3,6}．(2)∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，∁AB＝{1,3,5}，∴B＝{0,2,4}．【答案】(1)A(2)D【方法总结】解决与补集有关的问题时，应明确全集是什么，同时注意补集的有关性质：∁U∅＝U，∁UU＝∅，∁U(∁UA)＝A等．(1)已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是()A．－1B．1C．3D．±1(2)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{4}B．{2,4}C．{4,5}D．{1,3,4}解析：(1)∵U＝{－1,1,3}，∁UA＝{－1}，∴A＝{1,3}．∵A＝{a＋2，a2＋2}，又a2＋2≥2，∴a＋2＝1，a2＋2＝3，∴a＝－1.(2)阴影部分表示A∪B中把A∩B中的元素去掉，因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{2}，∴阴影部分表示的集合为{1,3,4}．故选D．答案：(1)A(2)D已知集合M＝{x|1x2}，集合N＝{x|3x4}．(1)求∁RN，M∩(∁RN)；(2)设A＝{x|axa＋2}，若A∪(∁RN)＝R，求实数a的取值范围．【解】(1)∵N＝{x|3x4}，∴∁RN＝{x|x≤3或x≥4}．又∵M＝{x|1x2}，∴M∩(∁RN)＝{x|1x2}．(2)∵A＝{x|axa＋2}，∁RN＝{x|x≤3或x≥4}．A∪(∁RN)＝R，如图所示．∴a≤3，a＋2≥4，即a≤3，a≥2.∴2≤a≤3.【方法总结】(1)利用数轴简单直观．(2)注意端点画法，能取到端点值时用实心点；取不到端点值时，用空心圆圈表示．(3)较复杂时，按顺序分步计算．已知集合A＝{x|3x6}，B＝{x|2x9}．(1)求A∩B，(∁RA)∪(∁RB)；(2)已知C＝{x|axa＋1}，若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)∵A＝{x|3x6}，B＝{x|2x9}，∴A∩B＝{x|3x6}，∵B＝{x|2x9}，∴(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥6}.(2)∵B∪C＝B，∴C⊆B，∴a≥2，a＋1≤9，解得2≤a≤8.已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∁RB，求a的取值范围．【解】∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁RB，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，则2a－2≥a，∴a≥2.②若A≠∅，则2a－2＜a，a≤1，或2a－2＜a，2a－2≥2.∴a≤1.综上，{a|a≤1或a≥2}．【方法总结】解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区间端点的问题．已知U＝R，集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|6－a≤x≤2a－1}．(1)若a＝3，求A∪B，B∩(∁UA)；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)a＝3，B＝{x|6－a≤x≤2a－1}＝{x|3≤x≤5}，A＝{x|1≤x≤4}，∴A∪B＝{x|1≤x≤5}，∁UA＝{x|x1或x4}，B∩(∁UA)＝{x|4x≤5}．(2)B⊆A，当B＝∅时，满足题意，即6－a2a－1，解得a73；当B≠∅时，6－a≤2a－1，6－a≥1，2a－1≤4，解得73≤a≤52.综上所述，a的取值范围为－∞，52.已知R为全集，A＝{x|－1≤x3}，B＝{x|－2x≤3}，求(∁RA)∩B．【错解】∵A＝{x|－1≤x3}，∴∁RA＝{x－1或x3}．又B＝{x|－2x≤3}，∴(∁RA)∩B＝{x|－2x－1}．【错因分析】求A的补集时，思维不严密，对端点处理不当，漏掉了元素3，导致结果错误．【正解】∵A＝{x|－1≤x3}，∴∁RA＝{x|x－1或x≥3}．又B＝{x|－2x≤3}，∴(∁RA)∩B＝{x|－2x－1或x＝3}．即学即练稳操胜券3基础知识达标1．已知U＝{1,3,5,7,9}，A＝{3,5}，则∁UA＝()A．{1,7,9}B．{1,3,5,7,9}C．{1,3,5}D．{1,9}答案：A2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,3,5}，N＝{2,5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是()A．{5}B．{1,3}C．{2,4}D．{2,3,4}解析：Venn图中阴影部分所表示的集合是(∁UN)∩M，而∁UN＝{1,3,4}，M＝{1,3,5}，故选B．答案：B3．已知全集U＝R，A＝{x|x1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|1≤x2}B．{x|1x≤2}C．{x|x≥1}D．{x|x≤2}解析：∵A∪B＝{x|x1或x≥2}，∴∁U(A∪B)＝{x|1≤x2}．答案：A4．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－20}，则∁RA＝()A．{x|－1x2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x－1}∪{x|x2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：解不等式x2－x－20，得x－1或x2，所以A＝{x|x－1或x2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B．答案：B5．设全集U＝R，A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＋a＜0}，且B∁UA，求实数a的数值范围．解：∵U＝R，A＝{x|x＞1}，∴∁UA＝{x|x≤1}．∵x＋a＜0，x＜－a，∴B＝{x|x＜－a}．又∵B∁UA，∴－a≤1，∴{a|a≥－1}.