2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用章末小结与测评课件 新人教A版选修2-2

考点一导数的几何意义1.导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16.整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1.解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.∴x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.[对点训练]1．设函数f(x)＝4x2－lnx＋2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：f′(x)＝8x－1x.所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，又f(1)＝4＋2＝6，所以切点的坐标为(1,6)．所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即7x－y－1＝0.考点二利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有lnx，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．[典例2]设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞)．此时f′(x)＝2x＋12.可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2x＋12＝ax2＋2a＋2x＋axx＋12.当a≥0时，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12x－12xx＋12≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a－12时，Δ0，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12a0时，Δ0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－a＋1＋2a＋1a，x2＝－a＋1－2a＋1a，由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a0，所以x∈(0，x1)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12a0时，函数f(x)在0，－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a，＋∞上单调递减，在－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a上单调递增．[典例3]若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－11，即a2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意当x∈(1,4)时，f′(x)0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)0.故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.因此a的取值范围是[5,7]．[对点训练]2．已知函数f(x)＝xekx(k≠0)，求f(x)的单调区间．解：f′(x)＝(1＋kx)ekx，若k0，则由f′(x)0得1＋kx0，x－1k；由f′(x)0得x－1k.∴k0时，f(x)的单调递增区间为－1k，＋∞，递减区间为－∞，－1k.若k0，则由f′(x)0得1＋kx0，x－1k；由f′(x)0得x－1k.∴k0时，f(x)的单调递增区间为－∞，－1k，递减区间为－1k，＋∞.3．若a≥－1，求函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)的单调区间．解：由已知得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝ax－1x＋1(a≥－1)，(1)当－1≤a≤0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；(2)当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝1a.f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－1，1a1a1a，＋∞f′(x)－0＋f(x)极小值从上表可知，当x∈－1，1a时，f′(x)0，函数f(x)在－1，1a上单调递减．当x∈1a，＋∞时，f′(x)0，函数f(x)在1a，＋∞上单调递增．综上所述，当－1≤a≤0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当a0时，函数f(x)在－1，1a上单调递减，函数f(x)在1a，＋∞上单调递增.考点三利用导数研究函数的极值和最值1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)解方程f′(x)＝0的根．(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意．3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．[典例4]已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点．(1)求实数a的值；(2)求f(x)在x∈[1,5]上的最小值和最大值．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3.f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.(2)f(x)＝x3－5x2＋3x.令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13(舍去)．x1(1,3)3(3,5)5f′(x)－0＋f(x)－1－915当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：因此，当x＝3时，f(x)在区间[1,5]上有最小值为f(3)＝－9；当x＝5时，f(x)在区间[1,5]上有最大值是f(5)＝15.[典例5](2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.若a0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)0；当x∈0，a3时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞单调递增，在0，a3单调递减．若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a0，则当x∈－∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)0，当x∈a3，0时，f′(x)0，所以f(x)在－∞，a3，(0，＋∞)单调递增，在a3，0单调递减．(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a3单调递减，在a3，1单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为fa3＝－a327＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－a327＋2，M＝4－a，0a2，2，2≤a≤3.所以M－m＝2－a＋a327，0a2，a327，2≤a3.当0a2时，可知y＝2－a＋a327单调递减，所以M－m的取值范围是827，2.当2≤a3时，y＝a327单调递增，所以M－m的取值范围是827，1.综上，M－m的取值范围是827，2.[对点训练]4．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解：对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x＝32，或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又由a0，得0a≤1.即a的取值范围为(0,1]．5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝23时取极大值．(1)求曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，又x＝－1，x＝23分别对应函数的极小值，极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．即23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.于是a＝－12，b＝2，则f(x)＝－x3－12x2＋2x.x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2,2)．又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，