2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A

1.7.2定积分在物理中的应用目标定位重点难点1.了解应用定积分解决一些简单的物理问题的思想方法2.能应用定积分解决变速直线运动的路程、变力所做的功等一些简单的物理问题重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力所做的功等问题难点：将实际问题转化为定积分问题1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即__________．s＝abv(t)dt2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功为______________．W＝abF(x)dx1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3s～6s间的运动路程为()A．46mB．46.5mC．87mD．47m【答案】B2．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10tm/s，则此物体达到最高时的高度为()A．160mB．80mC．40mD．20m【答案】B3．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5m直线运动到x＝10m所做的功是()A．925JB．850JC．825JD．800J【答案】C4．一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝2＋sint(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位：km)是()A．3－cos1B．3＋cos1C．1＋cos1D．1－cos1【答案】A【例1】有一动点P从原点出发，在时刻t的速度为v(t)＝8t－2t2，解下列各小题：(1)当t＝3时，求点P离开原点的路程；(2)求当t＝5时，点P的位置；(3)求t＝0到t＝5时，点P经过的路程；(4)求点P经过一段时间后又返回原点时的t值．求变速直线运动的路程【解题探究】利用路程是速度的定积分求出路程再进行求解．【解析】(1)因为4t2－23t3′＝8t－2t2，所以s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330＝18.(2)s2＝05(8t－2t2)dt＝4t2－23t350＝503.(3)当v(t)＝8t－2t2≥0时，即0≤t≤4时，P点向正方向运动；t4时，P点向负方向运动，因此，所求路程应为s3＝04(8t－2t2)dt＋45[－(8t－2t2)]dt＝4t2－23t340＋23t3－4t254＝26.(4)依题意知0t(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0.解得t1＝0或t2＝6.t1＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t2＝6是所求的t.物体做变速直线运动经过的路程s＝abv(t)dt，(v(t)≥0)，要注意速度方向的改变，区分路程与位移的异同．1．一辆汽车在一段时间内，行驶过程中的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数v(t)＝2t＋t＋2，t≥0，求汽车在2～8s这段时间内走过的路程．【解析】s＝28v(t)dt＝28(2t＋t＋2)dt，而43t32＋12t2＋2t′＝2t＋t＋2，所以s＝43t32＋12t2＋2t82＝5632＋42.所以汽车在2～8s这段时间内走过的路程为5632＋42m.【例2】设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧伸长到40cm所做的功．【解题探究】先求出力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．求变力所做的功【解析】设以x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx.依题意，使弹簧伸长5cm，需力100N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20x.所以弹簧伸长到40cm所做的功即计算由x＝0到x＝15所做的功为W＝∫15020xdx＝10x2150＝2250(N·cm)．当物体沿与F相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F做的功是W＝abF(x)dx.当物体运动方向与F的方向夹角为θ时，W＝abF(x)cosθdx.2．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，气体压强与体积的乘积是常数k，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．【解析】由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝kV＝kxS.∴作用在活塞上的力F＝p·S＝kxS·S＝kx.∴所做的功W＝abkxdx＝k·lnxba＝klnba.混淆路程与位移致误【示例】一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)该点在4s内运动的路程．【错解】(1)t＝4s时该点的位移为04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．∴t＝4s时该点距离出发点43m.(2)由(1)知，该点在4s内运动的路程为43m.【错因分析】因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪些时间段的位移为负．【正解】(1)在t＝4s时该点的位移为04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．∴在t＝4s时该点距出发点43m.(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间(1,3)上，v(t)0.∴该点在4s内运动的路程为S＝01(t2－4t＋3)dt＋13t2－4t＋3dt＋34(t2－4t＋3)dt＝01(t2－4t＋3)dt－13(t2－4t＋3)dt＋34(t2－4t＋3)dt＝4(m)．【警示】当速度v(t)有正有负时，位移与路程是有区别的，此时位移是速度的定积分，而路程却是速度绝对值的定积分．1．物体以v＝v(t)作变速直线运动时，在t＝a到t＝b(a＜b)时间内经过的位移为s＝abv(t)dt.2．物体在F＝F(x)的变力作用下，沿力F方向由x＝a运动到x＝b(a＜b)时所做的功W＝abF(x)dx.当力F的方向与运动方向夹角为θ时，所做的功为W＝abF(x)cosθdx.1．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8JB．10JC．12JD．14J【答案】D2．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A．176B．143C．136D．116【答案】A3．(2017年福建福州期中)一物体在力F(x)＝ex＋2x(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．e3＋9B．e3＋8C．e3＋2D．e3＋1【答案】B4．(2017年湖南模拟)自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为________.【答案】32g