2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在

1．7.1定积分在几何中的应用课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f(x)0时，abf(x)dx0，所以S＝；□01□02abfxdx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)如图②，当f(x)0时，abf(x)dx0，所以S＝|abf(x)dx|＝；(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)0，acf(x)dx0；当c≤x≤b时，f(x)0，cbf(x)dx0，所以S＝|acf(x)dx|＋cbf(x)dx＝＋；□03□04－abf(x)dx□05□06□07－acf(x)dx□08cbf(x)dx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)如图④，在公共积分区间[a，b]上，当f1(x)f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝ab[f1(x)－f2(x)]dx＝.□09abf1(x)dx－abf2(x)dx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练×√√课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)由曲线y＝ex，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于________．(2)曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积为________．(3)抛物线y＝x2－1与x轴围成图形的面积是________．答案(1)e4－e2(2)12(3)43答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1不可分割图形面积的求解例1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]由y＝x2－4，y＝－x＋2得x＝－3，y＝5或x＝2，y＝0，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)．设所求图形的面积为S，根据图形可得答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升不分割型图形面积的求解步骤：(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积S.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y2＝x，y＝x3，得交点横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2可分割图形面积的求解例2求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．[解]解法一：画出草图，如图所示．解方程组y＝x，x＋y＝2，y＝x，y＝－13x答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3综合问题例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]如下图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20，令y＝0，得x＝x02，即Cx02，0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知抛物线y＝－x2a＋2x(a0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln2答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析画出曲线y＝1x(x0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．所以S＝121xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712解析作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2，y＝x3得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练因此，所求图形的面积为S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x4|10＝13－14＝112.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．由曲线y＝2x2，及x＝0，x＝3，y＝0所围成图形的面积为________．解析图形面积为S＝032x2dx＝203x2dx＝23x3|30＝18.解析答案18答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值是________．答案1－342答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．如图，求由曲线y＝ex，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案