2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念课件 新人教A版选修2-2

1.5定积分的概念一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问题．观察教材P39图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形．(1)通常称这样的平面图形为什么图形？提示：曲边梯形．(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和．(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．二、归纳总结·核心必记1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．连续y＝0(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．小曲边梯形矩形近似值近似值3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用、、、的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割近似代替求和取极限4．定积分(1)定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝__________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝___________________．i＝1nb－anf(ξi)limn→∞i＝1nb－anf(ξi)其中a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做，函数f(x)叫做，x叫做，f(x)dx叫做．(2)定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有，那么定积分abf(x)dx表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分abf(x)dx的几何意义．积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式f(x)≥0x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0y＝f(x)(3)定积分的基本性质①abkf(x)dx＝__________________；②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________；③abf(x)dx＝______________________________．kabf(x)dx(k为常数)abf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)三、综合迁移·深化思维(1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．(3)在“近似代替”中，如果取任意ξi∈i－1n，in处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S有变化吗？提示：没有变化．(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．(5)abf(x)dx是一个常数还是一个变量？abf(x)dx与积分变量有关系吗？提示：由定义可得定积分abf(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即abf(x)dx＝abf(t)dt＝abf(u)du.(6)在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)0，abf(x)dxx表示什么？提示：如果在区间[a，b]上，函数f(x)0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，由于Δxi0，f(ξi)0，故f(ξi)·Δxi0，从而定积分abf(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即abf(x)dx＝－S或S＝－abf(x)dx.(7)024－x2dx的几何意义是什么？提示：是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即024－x2dx＝π.探究点一求曲边梯形的面积[典例精析]如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．(提示：12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1))[解](1)如图，分割，将区间[0,3]n等分，则每个小区间3i－1n，3in(i＝1,2，…，n)的长度为Δx＝3n.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形．(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.(3)求和Sn＝i＝1nfi－nΔx＝i＝1n－i－2n2＋2×i－n＋3×3n＝－27n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＋18n2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9＝－27n3×16(n－1)n(2n－1)＋18n2×nn－12＋9＝－91－1n1－12n＋91－1n＋9.所以S≈Sn＝－91－1n1－12n＋91－1n＋9.(4)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞－91－1n1－12n＋91－1n＋9＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9，即所求曲边梯形的面积为9.[类题通法]求曲边梯形面积的思想和步骤(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用n个小矩形的面积的和Sn来逼近曲边梯形的面积S.(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限．[针对训练]1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解：因为y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2x≥0，y＝4得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2(x≥0)围成的曲边梯形的面积．(2)近似代替求和Sn＝i＝1ni－n2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝831－1n1－12n.(3)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞831－1n1－12n＝83.所以所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－83＝163.所以2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为323.探究点二求变速直线运动的路程[思考探究]求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程．[典例精析]汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？[解]将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)．第i个时间区间的路程的近似值为Δξi≈Δξi′＝v(t)·1n＝v1＋i－1n·1n＝3n＋2i－1n2＋i－12n3，于是sn＝i＝1nΔξi＝i＝1n3n＋2i－1n2＋i－12n3＝n·3n＋2n2·(0＋1＋2＋…＋n－1)＋1n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＝3＋2n2·n－1·n2＋1n3·n－1n2n－16＝3＋1－1n＋131－1n1－12n.所以s＝limn→∞sn＝limn→∞3＋1－1n＋131－1n1－12n＝133.所以这段时间行驶的路程为133km.[类题通法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[针对训练]2．已知做自由落体运动的物体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解：①分割．将时间区间[0，t]等分成n个小区间，其中第i个区间为i－1nt，itn(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝itn－i－1nt＝tn，在各小区间内物体下落的距离，记作Δsi.②近似代替．在i－1nt，itn上取ξi＝i－1nt，则v(ξi)＝g·i－1nt，因此在每个小区间内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·i－1nt·tn(i＝1,2，…，n)．③求和．i＝1nΔsi≈i＝1ng·i－1nt·tn＝gt2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12gt21－1n.④取极限．s＝limn→∞12gt21－1n＝12gt2.探究点三求定积分[典例精析]求下列定积分的值：(1)12(x＋1)dx；(2)－339－x2dx.[解](1)法一：(定义法)f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝1n，在1＋i－1n，1＋in上取ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，∴f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，∴i＝1nf(ξi)·Δx＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋n－12n＝2＋12－12n＝52－12n，∴12(1＋x)dx＝limn→∞52－12n＝52.法二：(几何意义)12(x＋1)dx表示如图所示阴影部分的面积．由于梯形的面积S＝12(2＋3)×1＝52，故12(x＋1)dx＝52.(2)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知－339－x2dx＝92π.[类题通法](1)用定义求定积分abf(x)dx的一般方法是：①分割：将区间[a，b]n等分，记第i个小区间为[xi－1，xi]，区间长度Δx＝xi－xi－1；②近似代替、求和：取点ξi∈[xi－1，xi]，abf(x)dx≈i＝1nf(ξi)Δx；③取极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nf(ξi)Δx.(2)利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求abf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．[针对训练]3