2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念

1．5.3定积分的概念课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上，用分点a＝x0x1x2…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即abf(x)dx＝．□01连续□02∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)□03abfxdx□04limn→∞∑ni＝1b－anf(ξi)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．定积分的相关名称课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．定积分的几何意义(1)前提条件：函数f(x)在区间[a，b]上连续，f(x)≥0.(2)定积分abf(x)dx的几何意义：由y＝0，曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形的．4．定积分的基本性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)．□12面积□13kabf(x)dx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)ab[f(x)±g(x)]dx＝.(3)abf(x)dx＝．□14abf(x)dx±abg(x)dx□15acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x轴上方的曲边图形面积等于位于x轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x轴上方的曲边图形面积减去位于x轴下方的曲边图形面积．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)abf(x)dx＝abf(t)dt.()(2)abf(x)dx的值一定是一个正数．()(3)ab(x2＋2x)dx＝abx2dx＋ab2xdx.()√×√课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1利用定义计算定积分例1利用定积分的定义，计算12(3x＋2)dx的值．[解]令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则Sn＝∑ni＝1f(n＋i－1n)·Δx＝∑ni＝13n＋i－1n＋2·1n答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练＝i＝1n3i－1n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限12(3x＋2)dx＝limn→∞Sn＝limn→∞132－32n＝132.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中：(1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线f(x)＝x2＋2x＋1围成曲边梯形的面积．解将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为i－1n，in，等i个小区间的面积为ΔSi＝fin·1n＝in2＋2in＋1·1n，Sn＝∑ni＝1in2＋2in＋1·1n答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练＝1n3(12＋22＋32＋…＋n2)＋2n2(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝1n3·nn＋12n＋16＋2n2·nn＋12＋1＝1＋1n2＋1n6＋1n＋2，S＝limn→∞Sn＝limn→∞1＋1n2＋1n6＋1n＋2＝73，所以所求的曲边梯形的面积为73.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用定积分所表示的几何意义求abf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而01(3x＋2)dx＝72.图1图2答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3利用定积分的性质求定积分例3已知01x3dx＝14，12x3dx＝154，12x2dx＝73，24x2dx＝563，求：(1)02(3x3)dx；(2)14(6x2)dx；(3)12(3x2－2x3)dx.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)02(3x3)dx＝302x3dx＝301x3dx＋12x3dx＝3×14＋154＝12.(2)14(6x2)dx＝614x2dx＝612x2dx＋24x2dx＝6×73＋563＝126.(3)12(3x2－2x3)dx＝12(3x2)dx－12(2x3)dx＝312x2dx－212x3dx＝3×73－2×154＝7－152＝－12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知f(x)＝x，x∈[0，2，4－x，x∈[2，3，52－x2，x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有()A．S1SS2B．S1≤SS2C．S1≤S2≤SD．S1≤S≤S2答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析由题意知，在区间i－1n，in上，fi－1nfin，所以S1＝i＝1nfi－1n·1ni＝1nfin·1n＝S2，则S1SS2.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3.06(2x－4)dx＝________.答案12答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S△AOM＝12×2×4＝4，S△MBC＝12×4×8＝16，所以06(2x－4)dx＝16－4＝12.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．答案12x－1xdx答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析如图所示，阴影部分的面积可表示为12xdx－121xdx＝12x－1xdx.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．根据定积分的几何意义求定积分13(x－2)dx，13|x－2|dx.解根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线x＝3，x＝1，y＝0分别与函数y＝x－2，y＝|x－2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分的面积．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练∴13(x－2)dx＝－12×1×1＋12×1×1＝0.13|x－2|dx＝12×1×1＋12×1×1＝1.答案