2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面

1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．□01连续不断课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些对每个“以直代曲”，即用的面积近似代替的面积，得到每个小曲边梯形面积的，对这些近似值，就得到曲边梯形面积的(如图②)．□02小曲边梯形□03小曲边梯形□04矩形□05小曲边梯形□06近似值□07求和□08近似值课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)求曲边梯形面积的步骤：；；；3．求变速直线运动的路程(位移)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用，，，的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.□09分割□10近似代替□11求和□12取极限□13分割□14近似代替□15求和□16取极限课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练“分割”的目的“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”．教材中的例题中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当n越大时，所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．()(2)当n很大时，函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上的值，只能用in2近似代替．()(3)mi＝i2，i＝14mi＝30.()×√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________．(2)做直线运动的物体的速度v＝2t(m/s)，则物体在前3s内行驶的路程为________．(3)函数f(x)＝1x2________连续函数(填是或不是)．答案(1)9[1.4,1.6](2)9m(3)不是答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1求曲边梯形的面积例1求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)]．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]令f(x)＝x2＋1.(1)分割将区间[0,2]n等分，分点依次为x0＝0，x1＝2n，x2＝4n，…，xn－1＝2n－1n，xn＝2.第i个区间为2i－2n，2in(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝2in－2i－2n＝2n.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)近似代替、求和取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)，Sn＝∑ni＝1f2in·Δx＝∑ni＝12in2＋1·2n＝8n3∑ni＝1i2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n2)＋2＝8n3·nn＋12n＋16＋2＝432＋3n＋1n2＋2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞432＋3n＋1n2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升规则四边形和曲边梯形面积的求解方法(1)规则四边形：利用四边形的面积公式．(2)曲边梯形：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.解(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它分成n个小区间1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2，则第i个区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔSi(i＝1,2，…，n)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)近似代替在区间n＋i－1n，n＋in上，当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，我们用小矩形面积近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈n2n＋i－1n＋i·1n＝nn＋i－1n＋i.(3)求和小曲边梯形的面积和Sn＝∑ni＝1ΔSi＝∑ni＝1nn＋i－1n＋i＝n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n＝n1n－12n＝12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)取极限当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝limn→∞Sn＝12，所以由直线x＝1，x＝2，y＝0和曲线y＝1x2围成的图形的面积约为12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2求汽车行驶的路程例2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？[解](1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它等分成n个小区间．记第i个小区间为2i－1n，2in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝2in－2i－1n＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝∑ni＝1Δsi.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)近似代替取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)，于是Δsi≈Δsi′＝v2in·Δt＝32in2＋2·2n＝24i2n3＋4n(i＝1,2，…，n)．(3)求和sn＝∑ni＝1Δsi′＝∑ni＝124i2n3＋4n＝24n3(12＋22＋…＋n2)＋4＝24n3·nn＋12n＋16＋4＝81＋1n1＋12n＋4.从而得到s的近似值sn＝81＋1n1＋12n＋4.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)取极限s＝limn→∞sn＝limn→∞81＋1n1＋12n＋4＝8＋4＝12.所以这段时间内汽车行驶的路程为12km.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各时间区间上路程和的近似值，取极限，即为变速直线运动的路程．实质上与求曲边梯形面积类似．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝6t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．解(1)分割把区间[1,2]等分成n个小区间n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度Δt＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝i＝1nΔsi.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)近似代替ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)．Δsi≈vn＋i－1n·Δt＝6nn＋i－12·1n＝6n2n＋i－12·1n＝6nn＋i－12≈6nn＋i－1n＋i(i＝1,2,3，…，n)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)求和sn＝∑ni＝16nn＋i－1·n＋i＝6n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋12n－1－12n＝6n1n－12n.(4)取极限s＝limn→∞sn＝limn→∞6n1n－12n＝3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.曲边梯形和直边图形的主要区别是前者一边是曲线段，而后者的所有边都是直线段，曲边梯形面积的求法主要用了“以直代曲”的思想，即用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积，求曲边梯形的面积可分为四步：分割—近似代替—求和—取极限.2.把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．和式∑5i＝1(yi＋1)可表示为()A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)解析由和号“∑”的意义，知∑5i＝1(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5.故选C．解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形面积时把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是()A．i－1n，inB．in，i＋1nC．2i－1n，2inD．2in，2i＋1n解析将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i个小区间为2i－1n，2in.解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．已知自由落体的物体速率为v＝gt(g为常数)，则物体从t＝0到t＝4所走的路程为________．解析物体从t＝0到t＝4所走的路程就是速率－时间曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t＝0时，v＝0；t＝4时，v＝4g，所以所走路程s＝12×4×4g＝8g.解析答案8g答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为________．解析S＝15×[(110)2＋(310)2＋(510)2＋(710)2＋(910)2]＝0.33.解析答案0.33答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动，求汽车在第1s到第2s间的1s内经过的路程．解将[1,2]n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt＝1n，取ξi＝1＋i－1n，v(ξi)＝v1＋i－1n＝31＋i－1n＋2＝3n(i－1)＋5.∴sn＝∑ni＝13ni－1＋5·1n＝3n[0＋1＋2＋…＋n－1]＋5n·1n＝3n2·nn－12＋5＝321－1n＋5，∴s＝limn→∞sn＝32＋5＝6.5(m)．答案