2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．把区间[1,3]n等分，所得的n个小区间的长度Δx等于()A.1nB.2nC.12nD.3n解析Δx＝3－1n＝2n.解析答案B答案32．函数f(x)＝x2在区间i－1n，1n上()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小解析当n很大时，区间i－1n，in的长度为1n，其变化越来越小，所以f(x)的值将变化很小．故选D.解析答案D答案43．在求由x＝a，x＝b(ab)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．A．1B．2C．3D．4答案A答案5解析n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.所以①正确，②③④错误，故应选A.解析64．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确答案C答案7解析用区间[xi，xi＋1]内的任意一个函数值都可以近似代替这个区间对应的函数值．解析85．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.19B.125C.127D.130答案A答案9解析将区间[0,1]三等分为0，13，13，23，23，1，各小矩形的面积和为s1＝03×13＋133×13＋233×13＝981＝19.解析106．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为()A.13B.12C．1D.32解析曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝12，即为这段时间内物体所走的路程．解析答案B答案11二、填空题7．由直线y＝x＋1与x＝0，x＝2，y＝0所围成的四边形的面积为________．解析所围成的四边形为直角梯形，x＝0时，y＝1，x＝2时，y＝3，所以S＝12×(1＋3)×2＝4.解析答案4答案128．已知某物体运动的速度v＝2t－1，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析若把区间[0,10]进行10等分，则第i个小区间为[i－1，i](i＝1,2，…，10)，其右端点为i，那么物体运动的路程的近似值为S＝∑10i＝1(2i－1)＝2∑10i＝1i－10＝2×1＋10×102－10＝100.解析答案100答案139．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．解析将区间[0，a]分为等长的n个小区间，第i个区间记为i－1na，ian(i＝1,2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝an，所以v(ti)＝ian2，sn＝∑ni＝1ian2·an＝a3n3(1＋22＋…＋n2)解析答案3答案14＝a3nn＋12n＋16n3＝a361＋1n2＋1n，于是s＝limn→∞sn＝limn→∞a361＋1n2＋1n＝a33＝9，得a＝3.解析15三、解答题10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝f(x)＝x2所围成曲边梯形的面积．解将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为2i－1n，2in(i＝1,2，…，n)．第i个小区间的面积ΔSi＝f2i－1n·2n，所以Sn＝∑ni＝1f2i－1n·2n＝2n∑ni＝14i－12n2答案16＝8n3∑ni＝1(i－1)2＝8n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝8n3·n－1n2n－16＝4n－12n－13n2.S＝limn→∞Sn＝limn→∞4n－12n－13n2＝43limn→∞1－1n2－1n＝83.所以所求曲边梯形面积为83.答案17B级：能力提升练11．弹簧在拉伸过程中，力(单位：N)与伸长量(单位：m)成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长bm所做的功．解将物体用恒力F(单位：N)沿着力的方向移动距离x(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fx，本题中F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，即F(x)＝kx.答案18(1)分割在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为i－1nb，inb(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝inb－i－1nb＝bn.在各个小区间上所做的功记为ΔWi(i＝1,2，…，n)，显然W＝i＝1nΔWi.答案19(2)近似代替取ξi＝inb，于是ΔWi≈ΔWi′＝Finb·Δx＝k·ibn·bn.(3)求和Wn＝i＝1nΔWi′＝i＝1nk·ibn·bn＝kb2n2(1＋2＋…＋n)＝kb2n2×nn＋12＝kb221＋1n.答案20(4)取极限W＝limn→∞Wn＝limn→∞kb221＋1n＝12kb2.所以将弹簧从平衡位置拉长bm所做的功为12kb2N·m.答案2112．设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x轴正向相同，求F对质点m所做的功．解将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为9n，在1＋9ni－1，1＋9ni上取ξi＝1＋9ni.所以Fi＝ξ2i＋1＝1＋9ni2＋1，所以Wi＝Fi·9n＝9n1＋9ni2＋9n(i＝1,2，…，n)，答案22所以W＝limn→∞∑ni＝19n1＋9ni2＋9n＝limn→∞∑ni＝19n2＋18ni＋81n2i2＝limn→∞∑ni＝118n＋162n2i＋729n3i2＝limn→∞18＋162n2·nn＋12＋729n3·nn＋12n＋16＝18＋81＋243＝342.故F对质点所做的功为342.答案