2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选

1.4生活中的优化问题举例一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P34～P36的内容，回答下列问题．某厂家计划用一种材料生产一种盛500ml溶液的圆柱形易拉罐．(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可．(2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋1000x(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．二、归纳总结·核心必记1．优化问题生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．2．解决优化问题的基本思路利润最大用料最省效率最高三、综合迁移·深化思维在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．探究点一面积、体积的最值问题[典例精析]某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．[解](1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．则S＝12MB·AB＝12×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝12或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：θ0，π3π3π3，πS′＋0－S极大值所以，当θ＝π3时，S取得最大值Smax＝37503m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边l的距离为150m.[类题通法](1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．[针对训练]1．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图所示．设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为xm，帐篷的体积为V(x)m3，且1x4.由题设可得正六棱锥的底面边长为32－x－12＝8＋2x－x2(m)，故底面正六边形的面积为6×34(8＋2x－x2)2＝332(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝332(8＋2x－x2)·13x－1＋1＝32(16＋12x－x3)，则V′(x)＝32(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．当1x2时，V′(x)0，V(x)为增函数；当2x4时，V′(x)0，V(x)为减函数．所以当x＝2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)＝163.综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m3.探究点二成本最低(费用最省)问题[典例精析]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)由题设，隔热层厚度为xcm，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．当0≤x5时，f′(x)0，当5x≤10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．[类题通法]实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．[针对训练]2．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时，(8v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·200v－8＝1000v2v－8，∴y′＝2000vv－8－1000v2v－82＝1000v2－16000vv－82.令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，当v∈(8,16)时，y′0，y为减函数；当v∈(16，v0]时，y′0，y为增函数．故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v016，当v∈(8，v0]时，y′0，y在(8，v0]上为减函数；当v∈[v0,16)时，y′0，y在[v0,16)上为增函数．故当v＝v0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省；若v016，则当v＝v0时，全程燃料费最省．探究点三利润最大问题[典例精析]某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N*)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？[解](1)因为次品率p＝3x4x＋32，所以当每天生产x件时，有x·3x4x＋32件次品，有x1－3x4x＋32件正品．所以T＝200x·1－3x4x＋32－100x·3x4x＋32＝25·64x－x2x＋8(x∈N*)．(2)T′＝－25·x＋32x－16x＋82，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．当0x16时，T′0；当x16时，T′0;所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．[类题通法]解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．[针对训练]3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用导数解决面积、体积的最值问题，见探究点一；(2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题，见探究点二；(3)利用导数解决利润最大问题，见探究点三．3．在利用导数解决生活中的优化问题时，要注意函数的定义域应使实际问题有意义，这也是本节课的易错点．