2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课后课时精练课件

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小答案D答案解析导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．解析2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300答案D答案解析由题意可得总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000，0≤x≤390，所以P′(x)＝－x2300＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x300时，P′(x)0，当300x≤390时，P′(x)0，所以当x＝300时，P(x)最大．解析3．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是()A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末解析s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，故选D．解析答案D答案4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x400，则总利润最大时，年产量是()A．100B．150C．200D．300答案D答案解析设总利润为y，则y＝400x－12x2－100x－20000，0≤x≤400，80000－100x－20000，x400，当0≤x≤400时，利用导数得，当x＝300时，y取最大值为25000元．当x400时，函数为减函数，y20000元．因此，当x＝300时，总利润y最大．解析5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A．3VB．32VC．34VD．23V答案C答案解析设底面边长为x，高为h，∴34x2·h＝V，∴h＝4V3x2＝43V3x2.∴S表＝2·34x2＋3x·h＝32x2＋43Vx(x0)，S′(x)＝3x－43Vx2，令S′(x)＝0可得3x＝43Vx2，x3＝4V，x＝34V.当0x34V时，S′(x)0；当x34V时，S′(x)0，∴当x＝34V时S(x)最小．解析6．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC．43RD．34R答案C答案解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝23πRh2－π3h3，∴V′＝43πRh－πh2.V′＝0时，得h＝43R或h＝0(舍去)．当0h43R时，V′0；当43Rh2R时，V′0，∴h＝43R时，圆锥体积最大．解析二、填空题7．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．解析依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0x3时，y′0；当x3时，y′0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．解析答案3答案8．某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0t≤30，t∈Z)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋12，则该超市前t天平均售出如前10天的平均售出为f1010的月饼最少为________．解析记g(t)＝ftt＝t＋12t＋10，∴g′(t)＝1－12t2，令g′(t)＝0⇒t＝±23.函数g(t)在区间(0，23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增，考虑到t∈Z，且g(3)＝g(4)＝17，g(t)最小值为17.解析答案17答案9.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．答案439答案解析设CD＝x，则点C坐标为x2，0，点B坐标为x2，1－x22，所以矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·1－x22＝－x34＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－34x2＋1＝0，得x1＝－23(舍去)，x2＝23，所以x∈0，23时，f′(x)0，f(x)是递增的；x∈23，2时，f′(x)0，f(x)是递减的，所以当x＝23时，f(x)取最大值439.解析三、解答题10．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域．求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解设长为x米，则宽为200x米．根据题意得x≤16，200x≤16，解得252≤x≤16.由y＝2x＋2×200x×400＋2×200x×248＋200×80＝800x＋259200x＋16000252≤x≤16，则y′＝800－259200x2.令y′＝0，解得x＝18.答案因为函数定义域为252，16，且当252≤x≤16时，y′＜0，所以该函数在定义域内为单调减函数，即y在x＝16处取得最小值，最小值为800×16＋25920016＋16000＝45000.因此当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元．答案B级：能力提升练11．某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)解(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(3－x)百万元，又设由此获得的收益是g(x)，则g(x)＝－13x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，所以g′(x)＝－x2＋4.答案令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.当0≤x2时，g′(x)0；当2x≤3时，g′(x)0，故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．答案12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．参考公式：(eax＋b)′＝aeax＋b(a，b为常数)．解(1)由于年销售量为Q(x)＝kex，则ke40＝500，所以k＝500e40，则年售量为Q(x)＝500e40ex万件，则年利润L(x)＝(x－a－30)500e40ex＝500e40·x－a－30ex(35≤x≤41)．(2)L′(x)＝500e40·31＋a－xex.①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，当35≤x≤41时，L′(x)≤0，所以x＝35时，L(x)取最大值为500(5－a)e5.答案②当4a≤5时，35a＋31≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知x＝a＋31时，L(x)取最大值为500e9－A．综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当4a≤5，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a万元．答案