2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函

1.3.3函数的最大(小)值与导数课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．□01最大值□02最小值课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．□03极值□04各极值□05端点处的函数值课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()×√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.答案(1)无(2)15(3)1答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1求已知函数的最值例1已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[解](1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4A．当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a0a≤2，02a3.综上所述，f(x)max＝8－4aa≤2，0a2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？[解]令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝23a．当23a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；当23a≤－1，即a≤－32时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当－123a0，即－32a0时，f(x)在－1，23a上单调递增；在23a，0上单调递减，则f(x)max＝f23a＝－427a3.综上所述，f(x)max＝－1－a，a≤－32，－427a3，－32a0，0，a≥0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升常见结论(1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(2)当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】(1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值．解(1)因为f(x)＝x3－12x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.因为f－23＝15727，f(1)＝72，又f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，解得x＝2π3或x＝4π3.因为f(0)＝0，f2π3＝π3＋32，f4π3＝2π3－32，f(2π)＝π，所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2由函数的最值确定参数的值例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(1)当a0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)0，解得x－1，或x3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)∵f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，∴f(2)f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)0，∴在(－1,3)上f(x)单调递增，又∵f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2，∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3与函数最值有关的综合问题例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1.由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t＞0，得t＝1，当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)极大值由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max＝1.h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立，即g(t)＜m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max＝1＜m，即m＞1时上式成立，∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；②f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min；③f(x)＞g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min＞0；④a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．解(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a3，x1x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当xx1或xx2时，f′(x)0；当x1xx2时，f′(x)0.故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和－1＋4＋3a3，＋∞上单调递减，在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3上单调递增．(2)因为a0，所以x10，x20.①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练②当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0a1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x＝0处取得最小值．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：①若f(x)在[a，b]上有最大值，则