2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．17,1D．9，－19解析令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，f(－2)＝17，f(－3)＝10，f(0)＝1，所以最大值为17，最小值为1，故选C．解析答案C答案2．函数y＝x＋2cosx在0，π2上取最大值时，x的值为()A．0B．π6C．π3D．π2答案B答案解析f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0解得x＝π6，当x∈0，π6时，f′(x)0，f(x)为单调增函数，当x∈π6，π2时，f′(x)0，f(x)为单调减函数，fπ6为f(x)在0，π2上的极大值，也是最大值．故f(x)在区间0，π2上取最大值时，x的值为π6.解析3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a＜1B．0a1C．－1a1D．0a12解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，解得x＝±a，∵f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，∴0a1，∴0a1.解析答案B答案4．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，11)B．(－1,2)C．(－1,2]D．(1,4)答案C答案解析∵f′(x)＝－3x2＋3，当x∈(－1,1)时f′(x)0，当x∈(－∞，－1)或(1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当x＝－1时f(x)取极小值－2.由题意知f(x)在(a2－12，a)端点处函数值不能取到，∴a2－12－1a，解得－1a11.又f(2)＝－2，即x＝2时，与x＝－1处极小值相等．为保证最小值在x＝－1处取到，则a≤2，即－1a≤2.解析5．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是()A．m≥32B．m32C．m≤32D．m32解析f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f(x)min＝f(3)＝3m－272，由f(x)＋9≥0恒成立得f(x)≥－9恒成立，即3m－272≥－9，所以m≥32.解析答案A答案6．若函数f(x)＝1ex－x＋m的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．m＞－1B．m≥－1C．m＜－1D．m≤－1解析因为f(x)＝1ex－x＋m的定义域为R，所以ex－x＋m≠0恒成立．令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增．所以g(x)min＝g(0)＝e0－0＝1.因为∀x∈R，g(x)≥1恒成立，即g(x)－1≥0恒成立，所以m＞－1.解析答案A答案二、填空题7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为________．解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1，x＝－1(舍去)．因为f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，所以M＝18－a，N＝－2－a，所以M－N＝20.解析答案20答案8．函数f(x)＝1x＋1＋x(x∈[1,3])的值域为________．解析f′(x)＝－1x＋12＋1＝x2＋2xx＋12，所以在[1,3]上f′(x)0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝134，最小值是f(1)＝32.故函数f(x)的值域为32，134.解析答案32，134答案9．已知函数f(x)＝2lnx＋ax2(a0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[e，＋∞)答案解析f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)＝2x2－2x2lnx，x0，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e12，且0xe12时，g′(x)0；当xe12时，g′(x)0，∴x＝e12时，g(x)取最大值g(e12)＝e，∴a≥e.解析三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，所以f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2.又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线方程y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，所以3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由a＋b＝－2，2a＋b＝0解得a＝2，b＝－4，所以a＝2，b＝－4.答案(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝23或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表：所以f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f23＝9527，又f(－3)＝8，f(1)＝4，所以f(x)在[－3,1]上的最大值为13.答案B级：能力提升练11．已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－A．若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a0，则当x∈0，1a时，f′(x)0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)0.所以f(x)在0，1a单调递增，在1a，＋∞单调递减．答案(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a0时，f(x)在x＝1a取得最大值，最大值为f1a＝ln1a＋a1－1a＝－lna＋a－1.因此f1a2a－2等价于lna＋a－10.令g(a)＝lna＋a－1，g′(a)＝1a＋10，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)．答案12．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．解(1)f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a.当0x1a时，f′(x)＝1－axx0；答案当x1a时，f′(x)＝1－axx0，故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a．②当1a≥2，即0a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a．答案③当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当12aln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a1时，最小值为f(2)＝ln2－2a．综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a．答案