2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函

1．3.2函数的极值与导数课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练①f(a)f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值；②f′(a)＝；③在x＝a附近的左侧，f′(x)0，函数单调递；在x＝a附近的右侧，f′(x)0，函数单调递□01□020□03□04减□05□06增．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：①f(b)f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；②f′(b)＝；③在x＝b附近的左侧，f′(x)0，函数单调递；在x＝b附近的右侧，f′(x)0，函数单调递□07□080□09□10增□11□12减．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．求函数f(x)极值的方法与步骤解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极小值．(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0极值点．□13□14□15□16□17不是课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()×√√课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．(3)已知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的极小值是________．答案(1)2(2)a0(3)1答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1求已知函数的极值例1求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3lnx；(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a0)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]若将本例(2)中a0改为a0，结果会怎样？[解]由例1(2)中表可得：当－1a0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1a0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x0，还是x0，恒有f′(x)0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝2xx2＋1－2；(2)f(x)＝x2e－x.解(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2已知函数的极值求参数例2已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．[解]因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0，解得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数；所以f(x)在x＝－1时取得极小值．所以a＝2，b＝9.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点x＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(x)在点x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，解得b＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－23a．依题意有－23a0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以必有2≤－23a≤4，解得－6≤a≤－3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练例3已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．[解]f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－50或a＋270.解得a5或a－27.故实数a的取值范围为a5或a－27.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x－2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42a5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3解析∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.①又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.②联立①②解得a＝1，b＝－3.解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．