2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函

1.3.1函数的单调性与导数课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间内是的．(2)若在区间(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间内是的．□01单调递增□02单调递减课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的(2)计算f′(x)，令，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．(4)判断f′(x)在每个区间的，确定函数f(x)的和□03定义域．□04f′(x)＝0□05符号□06增区间□07减区间．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内“平缓”．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()×√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．(2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________．(3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．答案(1)上升(2)a0，且b2≤3ac(3)－∞，－53，(1，＋∞)答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1函数与导函数图象之间的关系例1f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]C答案[解析]由导函数的图象可知，当x0时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数；当0xx1时，f′(x)0，即函数f(x)为减函数；当xx1时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝exx－2；(3)f(x)＝－x3＋3x2；(4)f(x)＝－13ax3＋x2＋1(a≤0)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－1x＝2x－12x＋1x.因为x0，所以2x＋10，由f′(x)0，解得x22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，＋∞；由f′(x)0，解得x22，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，22.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)0，解得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)f(x)＝－x3＋3x2的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当0x2时，f′(x)0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x0或x2时，f′(x)0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)因为f′(x)＝－ax2＋2x.①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a0时，令f′(x)0，所以(－ax＋2)x0，即x－2ax0，得x0或x2a，由f′(x)0，得2ax0.故f(x)的递增区间为－∞，2a和(0，＋∞)，递减区间为2a，0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)0或f′(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式．(3)要特别注意函数的定义域．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】求下列函数的单调区间．(1)y＝(1－x)ex；(2)y＝x3－2x2＋x；(3)y＝12x＋sinx，x∈(0，π)；(4)y＝ax－a－x(a0且a≠1)．解(1)∵y＝(1－x)ex，∴y′＝－xex，∴y′0时x0，y′0时x0，所以递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R，①令3x2－4x＋10，得x1或x13.②令3x2－4x＋10，得13x1.∴函数y＝x3－2x2＋x的增区间为－∞，13和(1，＋∞)，减区间为13，1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)∵y＝12x＋sinx，∴y′＝12＋cosx，①令y′0，得cosx－12，又∵x∈(0，π)，∴0x2π3.②令y′0，得cosx－12，又∵x∈(0，π)，∴2π3xπ.∴函数y＝12x＋sinx的增区间为0，2π3，减区间为2π3，π.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)y′＝axlna－a－xlna·(－x)′＝(ax＋a－x)lnA．当a1时，lna0，ax＋a－x0，所以y′0在R上恒成立．所以函数y＝ax－a－x在R上是增函数．当0a1时，lna0，ax＋a－x0，所以y′0在R上恒成立．所以函数y＝ax－a－x在R上是减函数．综上可知，当a1时，函数y＝ax－a－x在R上是增函数；当0a1时，函数y＝ax－a－x在R上是减函数．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3应用函数单调性求参数范围例3若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]f′(x)＝x2－ax＋a－1，由f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈(1，＋∞)，f′(x)0，即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a－11，即a2时，函数f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞)上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5,7]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升已知f(x)在区间(a，b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立；(3)对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．解因为f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋6x－1.当x∈R时，f(x)为减函数，得f′(x)≤0，即3ax2＋6x－1≤0(x∈R)．①当a＝0时，f′(x)＝6x－1≤0(x∈R)不成立(舍去)，②当a0时，f′(x)≤0(x∈R)不成立(舍去)，③当a0时，f′(x)≤0(x∈R)，则有Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.所以，当a≤－3时，函数f(x)在R上为减函数．所以a的取值范围为(－∞，－3]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究4利用导数证明不等式例4求证：当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1.[证明]设f(x)＝2x－2x－1(x≥3)，则f′(x)＝2xln2－2(x≥3)．因为x≥3，所以f′(x)≥23·ln2－2＞0.所以f(x)在[3，＋∞)内是增函数．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以f(x)的最小值为f(3)＝23－2×3－1＝1＞0.所以当n∈N*，且n≥3时，f(n)≥f(3)＞0，即2n－2n－1＞0恒成立．故当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1成立．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数f(x)．因此，要证不等式成立，只需证f(x)＞0在其定义域内恒成立即可．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练4】已知函数f(x)＝lnx－x－122.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x－1.解(1)由题意得f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－x＋1＝－x2＋x＋1x，x∈(0，＋∞)．由f′(x)0得－x2＋x＋10，解得0x1＋52.故f(x)的单调递增区间是0，1＋52.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．则有F′(x)＝1－x2x.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，故当x1时，F(x)F(1)＝0，即当x1时，f(x)x－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x