2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为()A．(－1,1)B．(1,2)C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－30得－1x1.所以原函数的单调递减区间为(－1,1)．解析答案A答案2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析因为导函数f′(x)是增函数，所以切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大．解析答案A答案3．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)f(e)f(3)B．f(e)f(2)f(3)C．f(3)f(e)f(2)D．f(e)f(3)f(2)解析因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x＋1x0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)．故选A．解析答案A答案4．若函数f(x)＝mx＋x在区间12，1上单调递增，则实数m的取值范围为()A．－12，＋∞B．12，＋∞C．[－2，＋∞)D．[2，＋∞)答案A答案解析由题意，得f′(x)＝m＋12x≥0在12，1上恒成立，即m≥－12x在12，1上恒成立．令g(x)＝－12x12≤x≤1，g′(x)＝14x－32，在12，1上g′(x)0，所以g(x)max＝g(1)＝－12，故m≥－12，故选A．解析5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案D答案解析图A中，直线为导函数f′(x)图象，抛物线为原函数f(x)图象，故A正确；B中导函数递减且恒大于0，原函数单调递增，故B正确；C中，导函数单调递增且恒大于0，原函数单调递增，故C正确；D中，若上面曲线为导数，则f′(x)大于0，原函数单调递增；若下面曲线为导函数，则f′(x)恒小于0，原函数单调递减，均不符合，故D错误．解析6．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)－f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()A．af(b)bf(a)B．af(a)bf(b)C．af(a)bf(b)D．af(b)bf(a)解析令g(x)＝x·f(x)，则g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)0，∴g(x)在R上是增函数．又∵a，b为常数且ab，∴g(a)g(b)，即af(a)bf(b)，故选C．解析答案C答案二、填空题7．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．解析因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单调，f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f(x)在R上只能递增，f′(x)≥0，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥13.解析答案m≥13答案8．若函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．答案1≤k32答案解析显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x.由f′(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为12，＋∞.由f′(x)0，得函数f(x)的单调递减区间为0，12.∵函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴k－112k＋1，k－1≥0，解得1≤k32.解析9．设函数f(x)＝x(ex－1)－12x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析因为f(x)＝x(ex－1)－12x2，所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．解析答案(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)答案三、解答题10．设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.若f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围．解f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2A．函数有单调递增区间，即在23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a0，得a－19.所以当a∈－19，＋∞时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间．答案B级：能力提升练11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解(1)因为函数f(x)的图象过点P(1,2)，所以f(1)＝2，所以a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，所以f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.答案(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)0，可得x－3或x13；令f′(x)0，可得－3x13.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，13，＋∞，单调减区间为－3，13.答案12．已知函数f(x)＝lnx＋ax＋a＋1x－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当－12≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．解(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，此时f′(x)＝1x＋1－2x2，f′(2)＝12＋1－24＝1.又因为f(2)＝ln2＋2＋22－1＝ln2＋2，所以切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2整理得x－y＋ln2＝0.答案(2)f′(x)＝1x＋a－1＋ax2＝ax2＋x－a－1x2＝ax＋a＋1x－1x2.当a＝0时，f′(x)＝x－1x2.此时，在(0,1)上，f′(x)0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)0，f(x)单调递增．当a＝－12时，f′(x)＝－x－122x2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．答案当－12a0时，f′(x)＝ax＋a＋1ax－1x2，－1＋aa1，此时在(0,1)和－1＋aa，＋∞上，f′(x)0，f(x)单调递减；在1，－1＋aa上，f′(x)0，f(x)单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；答案当－12a0时，f(x)在(0,1)和－1＋aa，＋∞上单调递减，在1，－1＋aa上单调递增；当a＝－12时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．答案