2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)目标定位重点难点1.能根据导数定义，求常见函数的导数2.能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数重点：基本初等函数的导数公式的应用难点：求对数函数和指数函数的导数2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____________f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝____________f(x)＝sinxf′(x)＝____________f(x)＝cosxf′(x)＝____________f(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝____________f(x)＝exf′(x)＝____________f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝____________f(x)＝lnxf′(x)＝____________0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x1．下列求导运算正确的是()A．x＋1x′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2)′＝－2x【答案】B2．若y＝cos2π3，则y′＝()A．－32B．－12C．0D.12【答案】C3．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．2x－y－1＝0C．x－y＝0D．3x－y＝0【答案】A4．给出下列命题，其中正确命题是________．(填序号)①任何常数的导数都是零；②直线y＝x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；③曲线y＝1x上任意一点处的切线斜率都是负值；④直线y＝2x和抛物线y＝x2在x∈(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快．【答案】①②③基本初等函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x100；(2)y＝x；(3)y＝5x3；(4)y＝1x2；(5)y＝ex；(6)y＝log5x.【解题探究】用基本初等函数的导数公式求导．【解析】(1)y′＝(x100)′＝100x99.(2)y′＝x′＝1.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25.(4)y′＝1x2′＝(x－2)′＝－2x－3＝－2x3.(5)y′＝(ex)′＝ex.(6)y′＝(log5x)′＝1xln5.求简单函数的导函数有两种基本方法，一是用导数的定义求导，但运算比较繁杂；二是用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数：(1)y＝xx；(2)y＝sinx;(3)y＝5x；(4)y＝lnx.【解析】(1)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32x12＝32x.(2)y′＝(sinx)′＝cosx.(3)y′＝(5x)′＝5xln5.(4)y′＝(lnx)′＝1x.导数的应用【例2】已知曲线y＝1x.（1）求曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．【解析】∵y＝1x，∴y′＝－1x2.（1）显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.（2）显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－1a2，则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程，得0－1a＝－1a2(1－a)，解得a＝12.代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.（1）利用导数的几何意义解决切线问题时，若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.（2）导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.2．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解析】由于y＝sinx，y＝cosx，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．求导公式应用错误【示例】给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④1x′＝－12xx.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【错解】C【错因分析】对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是理解，如sinπ3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现sinπ3′＝cosπ3这样的错误结果；二是准确记忆．【警示】求导时要注意原函数是否为常数，常数的导数为0.【正解】因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误；1x2′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；1x′＝(x－12)′＝－12x－32＝－12xx，所以④正确．故选B．1．熟记5种常见函数的导数和8个求导公式．2．用求导公式求函数的导数比用导数定义求函数的导数更简便快捷．3．用求导公式求出函数的导数后，可求函数在任一点x＝x0处的导数，从而可以研究函数在任给的一点处的导数的几何意义，以及函数在这一点附近的变化情况．1．给出下列结论：①(sinx)′＝cosx；②(lg2)′＝0；③(x)′＝1x；④(x3)′＝2x2.其中正确的个数是()A．3B．2C．1D．0【答案】B【答案】D2．(2017年吉林延边期中)下列函数中，导函数是奇函数的是()A．y＝sinxB．y＝exC．y＝lnxD．y＝cosx－123．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3【答案】A4．(2019年广东深圳期末)曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线方程为____________．【答案】x-ey=0