2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 第二课时 复合函数求导及应

第二课时复合函数求导及应用一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P16“思考”～P17的内容，回答下列问题．函数y＝ln(x＋2)与函数y＝lnu和u＝x＋2之间有什么关系？提示：y＝ln(x＋2)是由函数y＝lnu和u＝x＋2复合而成的复合函数．二、归纳总结·核心必记1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于．x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积三、综合迁移·深化思维(1)函数y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函数复合而成的？提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5复合而成．(2)函数y＝ln(2x＋1)的导函数是什么？提示：y＝ln(2x＋1)是由函数y＝lnu和u＝2x＋1复合而成的，∴y′x＝y′u·u′x＝1u·(2x＋1)′＝2u＝22x＋1.探究点一简单复合函数求导问题[典例精析]求下列函数的导数．(1)y＝1－2x2；(2)y＝esinx；(3)y＝sin2x＋π3；(4)y＝5log2(2x＋1)．[解](1)设y＝u12，u＝1－2x2，则y′＝u12′(1－2x2)′＝12u12·(－4x)＝12(1－2x2)12(－4x)＝－2x1－2x2.(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos2x＋π3.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.[类题通法]复合函数求导的步骤[针对训练]1．求下列函数的导数．(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln(4x－1)；(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝5x＋4；(5)f(x)＝sin3x＋π6；(6)f(x)＝cos2x.解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)设y＝lnu，u＝4x－1，则y′＝yu′·ux′＝1u·4＝44x－1.(3)设y＝2u，u＝3x＋2，则y′＝yu′·ux′＝2uln2·3＝3ln2·23x＋2.(4)设y＝u，u＝5x＋4，则y′＝yu′·ux′＝12u·5＝525x＋4.(5)设y＝sinu，u＝3x＋π6，则y′＝yu′·ux′＝cosu·3＝3cos3x＋π6.(6)法一：设y＝u2，u＝cosx，则y′＝yu′·ux′＝2u·(－sinx)＝－2cosx·sinx＝－sin2x；法二：∵f(x)＝cos2x＝1＋cos2x2＝12＋12cos2x，所以f′(x)＝12＋12cos2x′＝0＋12·(－sin2x)·2＝－sin2x.探究点二复合函数与导数运算法则的综合应用[典例精析]求下列函数的导数．(1)y＝x1＋x2；(2)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2.[解](1)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x21＋x2.(2)∵y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2＝x(－sin2x)cos2x＝－12xsin4x，∴y′＝－12xsin4x′＝－12sin4x－x2cos4x·4＝－12sin4x－2xcos4x.[类题通法]复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．[针对训练]2．求下列函数的导数．(1)y＝cosx·sin3x.；(2)y＝sin3x＋sinx3；(3)y＝11－x2；(4)y＝xln(1＋x)．解：(1)y′＝(cosx)′·sin3x＋cosx·(sin3x)′＝－sinx·sin3x＋cosx·cos3x·(3x)′＝－sinx·sin3x＋3cosx·cos3x.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y′＝0－1－x2′1－x2＝－121－x2121－x2′1－x2＝x1－x2121－x2＝x1－x21－x2.(4)y′＝x′ln(1＋x)＋xln1＋x′＝ln(1＋x)＋x1＋x.探究点三复合函数导数的综合问题[典例精析]设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．求a，b的值．[思路点拨]当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点．[解]由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.[类题通法]本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．[针对训练]3．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()解析：依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是23，23，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.答案：A[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见探究点一和探究点二．3．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．