2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的

1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．□01x的函数□02y＝f[g(x)]．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx′＝，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．□03yu′·ux′课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin2x＋π3的导数，设y＝sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos2x＋π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．()(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.()×√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________.(2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________.(3)函数f(x)＝－2x＋1，则f′(x)＝________.答案(1)2(2)2cosx＋sinx(3)2x＋12答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.[解](1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.(2)∵y＝ln(6x＋4)由函数y＝lnu和u＝6x＋4复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(6x＋4)′＝6u＝66x＋4＝33x＋2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．(4)函数y＝3x＋5可以看作函数y＝u和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(3x＋5)′＝32u＝323x＋5.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升复合函数求导的步骤课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】求下列函数的导数．(1)y＝1－2x2；(2)y＝esinx；(3)y＝sin2x＋π3；(4)y＝5log2(2x＋1)．解(1)设y＝u12，u＝1－2x2，则y′＝(u12)′(1－2x2)′＝12u－12·(－4x)＝12(1－2x2)－12(－4x)＝－2x1－2x2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos2x＋π3.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝10uln2＝102x＋1ln2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数．(1)y＝x(x＋1)(x＋2)(x＞0)；(2)y＝sin22x＋π3.[解](1)y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2.(2)设y＝u2，u＝sinν，ν＝2x＋π3，则yx′＝yu′·uν′·νx′＝2u·cosν·2＝4sinνcosν＝2sin2ν＝2sin4x＋2π3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解法探究]此题有没有其他解法呢？[解](1)因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x，所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.(2)y′＝sin22x＋π3′＝2sin2x＋π3·[sin(2x＋π3)]′＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2x＋π3′＝2sin4x＋2π3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】求下列函数的导数．(1)y＝x1＋x2；(2)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2.解(1)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x21＋x2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)∵y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2＝x(－sin2x)cos2x＝－12xsin4x，∴y′＝－12xsin4x′＝－12sin4x－x2cos4x·4＝－12sin4x－2xcos4x.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3导数的综合应用例3设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)由7x－4y－12＝0得y＝74x－3.当x＝2时，y＝12，∴f(2)＝2a－b2＝12.①又f′(x)＝a＋bx2，∴f′(2)＝a＋b4＝74.②由①②得4a－b＝1，4a＋b＝7，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可．利用f(x)上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积．高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．解因为直线l过原点，所以直线l的斜率k＝y0x0(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x30－3x20＋2x0，所以y0x0＝x20－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，所以k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练又k＝y0x0，所以3x20－6x0＋2＝y0x0＝x20－3x0＋2，整理得2x20－3x0＝0.因为x0≠0，所以x0＝32，此时y0＝－38，k＝－14.因此直线l的方程为y＝－14x，切点坐标为32，－38.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．下列函数不是复合函数的是()A．y＝－x3－1x＋1B．y＝cosx＋π4C．y＝1lnxD．y＝(2x＋3)4解析A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋π4，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝1u的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A．解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．函数y＝12(ex＋e－x)的导数是()A．12(ex－e－x)B．12(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x解析y′＝12ex＋e－x′＝12[(ex)′＋(e－x)′]＝12(ex－e－x)．解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．函数f(x)＝π2x2的导数是()A．f′(x)＝4πxB．f′(x)＝2πxC．f′(x)＝2π2xD．f′(x)＝2πx2＋2π2x解析由f(x)＝π2x2得f′(x)＝2π2x，故选C．解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b＝________.解析f′(x)＝4x3＋2ax－b，由f′0＝－13，f′－1＝－27⇒－b＝－13，－4－2a－b＝－27⇒a＝5，b＝13⇒a＋b＝5＋13＝18.解析答案18答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32