2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的

1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．几个常见函数的导数课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．基本初等函数的导数公式课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±fn)′＝.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝(m，n为常数)．□17f1′±f2′±…±fn′□18mf′(x)±ng′(x)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·lna，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝1x·lna，也可记为(logax)′＝1x·logae，当a＝e时，lnx的导数也是(logax)′的一个特例．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx.()(3)若f(x)＝－1x，则f′(x)＝12xx.()√××课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)1x3′＝________.(2)(2x)′＝________.(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________.答案(1)－3x4(2)2xln2(3)3x2－1xln3答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数．(1)y＝5x3；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；(4)f(x)＝2－2sin2x2；(5)f(x)＝ex＋1ex－1.[解](1)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25＝355x2.(2)y′＝(log5x)′＝1xln5.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)因为f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，所以f′(x)＝3x2＋2x－1.(4)因为f(x)＝2－2sin2x2＝1＋cosx，所以f′(x)＝－sinx.(5)解法一：f′(x)＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝－2exex－12.解法二：因为f(x)＝ex＋1ex－1＝1＋2ex－1，所以f′(x)＝2′ex－1－2ex－1′ex－12＝－2exex－12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】求下列函数的导数．(1)y＝13x2；(2)y＝x3·ex；(3)y＝cosxx.解(1)y′＝13x2′＝(x－23)′＝－23x－23－1＝－23x－53.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)．(3)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2曲线切线方程的确定与应用例2过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解]因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，所以所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.y′＝(ex)′＝ex，ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M12，14.所以所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3导数的综合应用例3已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，当x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．解f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①若－b≤－1，即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，即1－2b＋c＝－1，②答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由①②，解得b＝14，不满足b≥1，应舍去．若－1＜－b＜3，即－3＜b＜1，则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，即b2－2b2＋c＝－1，③由①③，解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.若－b≥3，即b≤－3，f′(x)在[－1,3]上是减函数，所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，即9＋6b＋c＝－1，④由①④，解得b＝－94，不满足b≤－3，应舍去．综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y＝x·x的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y＝x·x＝x32，再求y′＝32x12简单.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．已知函数f(x)＝5，则f′(1)等于()A．5B．1C．0D．不存在解析因为f(x)＝5，所以f′(x)＝0，所以f′(1)＝0.解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln3，则f′(x)为()A．3x2＋3xB．3x2＋3x·ln3＋13C．3x2＋3x·ln3D．x3＋3x·ln3解析(ln3)′＝0，注意避免出现(ln3)＝13的错误，∵f(x)＝x3＋3x＋ln3，∴f′(x)＝3x2＋3x·ln3.解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．曲线y＝cosx在点Aπ6，32处的切线方程为________．解析因为y′＝(cosx)′＝－sinx，所以k＝－sinπ6＝－12，所以在点A处的切线方程为y－32＝－12x－π6，即x＋2y－3－π6＝0.解析答案x＋2y－3－π6＝0答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．解析∵f(x)＝f′π4cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4sinπ4＋cosπ4，即f′π4＝2－1，从而有fπ4＝(2－1)cosπ4＋sinπ4＝1，故填1.解析答案1答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5.已知直线y＝kx是函数y＝lnx的一条切线，试求k的值．解设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝lnx，∴y′＝1x，∴y′|x＝x0＝1x0＝k.∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，∴y0＝kx0，①y0＝lnx0，②把k＝1x0代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e，∴k＝1x0＝1e.答案