2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

1.1变化率与导数1．1.1&1.1.2变化率问题导数的概念一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P6的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝33V4π.①当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：r1－r01－0≈0.62(dm/L)．②当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：r2－r12－1≈0.16(dm/L)．③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：rV2－rV1V2－V1.(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/s)．②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝h2－h12－1＝－8.2(m/s)．③在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度v又是多少？其中t1t2∈0，6549提示：v＝ht2－ht1t2－t1.二、归纳总结·核心必记1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝.(2)实质：的改变量与的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的．(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．fx2－fx1x2－x1函数值自变量快慢2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式limΔx→0ΔyΔx＝实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，趋近的值作用刻画函数在处变化的快慢limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx平均变化率某一点[点睛]“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.3．导数的概念定义式limΔx→0ΔyΔx＝记法或y′|x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δxf′(x0)瞬时变化率三、综合迁移·深化思维(1)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx表示什么？提示：表示割线AB的斜率．(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率ΔyΔx可正、可负、可为零．(3)在高台跳水中，如何求在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？提示：v＝v1＋Δt－v11＋Δt－1.当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度．(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.探究点一函数的平均变化率[思考探究](1)平均变化率可用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．(2)如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？提示：平均变化率为fx2－fx1x2－x1.[典例精析]已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.[类题通法](1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．[针对训练]1．已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．探究点二瞬时速度[思考探究]某物体按s＝f(t)的规律运动．(1)该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？提示：v＝ft0＋Δt－ft0Δt＝ΔsΔt.v0＝limΔt→0ΔsΔt.(2)如何求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限？名师指津：①在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．②求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[典例精析]若一物体的运动方程为s＝29＋3t－32，0≤t3，3t2＋2，t≥3，(路程单位：m，时间单位：s)．求：(1)物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1s时的瞬时速度．[解](1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以ΔsΔt＝3Δt2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1s时的瞬时速度为s′(1)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12(m/s)．[类题通法]求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(3)求平均速度ΔsΔt；(4)求瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt.[针对训练]2．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt＝4a＋aΔt，故在t＝2s时，瞬时速度为s′(2)＝limΔt→0ΔsΔt＝4a(m/s)．由题意知，4a＝8，所以a＝2.探究点三利用定义求函数在某一点处的导数[思考探究]任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．因为ΔyΔx＝f0＋Δx－f0Δx＝|Δx|Δx＝1，Δx0，－1，Δx0，所以当Δx→0时，ΔyΔx的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．[典例精析]利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．[解]Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∵ΔyΔx＝3Δx2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3Δx＋4)＝4.[类题通法]1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤简称：一差、二比、三极限．2．瞬时变化率的变形形式limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝limΔx→0fx0＋nΔx－fx0nΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx＝f′(x0)．[针对训练]3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平均变化率的求法，见探究点一；(2)瞬时速度的求法，见探究点二；(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见探究点三．3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见探究点三．注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．