2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意

1．1.3导数的几何意义课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝.□01fx0＋Δx－fx0Δx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝.□02切线．□03limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是相应地，切线方程为□04斜率．□05f′(x0)．□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的(简称)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝.□07导函数□08导数□09limΔx→0fx＋Δx－fxΔx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.(3)导函数也简称导数．(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()×××课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．(3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________.答案(1)45°(2)x＋y－3＝0(3)2x答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1求切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[解]易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？[解]∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)．由本例知k＝f′(x0)＝3x20＋2，切线方程为y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)．又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)．又∵y0＝x30＋2x0－1得x30＝－1，即x0＝－1，∴切线方程为5x－y＋1＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线．解(1)∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0Δx3＋3x2·Δx＋3x·Δx2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20，故切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x30＝3x20(1－x0)，即2x30－3x20＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－12.∴k＝3或k＝34.故所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y－1＝34(x－1)，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2利用导数求切点坐标例2过曲线y＝f(x)＝x2上哪一点的切线．(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.[解]因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，即P－32，94是满足条件的点．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[结论探究]在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°.[解]由例题解析过程知f′(x)＝2x，因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－12，y0＝14，即P－12，14是满足条件的点．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0得切点坐标．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°；(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0.解设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1得x0＝14，该点为14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3导数几何意义的综合应用例3设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．[解]因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1)＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，所以ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.所以f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以f′(x0)＝3x0＋a32－9－a23.因为斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，所以该切线斜率为－12.所以－9－a23＝－12，解得a＝±3，又a0，所以a＝－3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x0处的导数f′(x0)并求出其最小值，建立等量关系求出a的值，再根据a0这一条件对结果进行取舍．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝13x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，直线l为准线的抛物线C的方程．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)因为y′＝limΔx→0ΔyΔx＝13x＋Δx3－4x＋Δx＋4－13x3＋4x－4Δx＝x2－4，所以y′|x＝2＝0，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，以直线y＝－1为准线，所以设抛物线方程为x2＝2py，则p2＝1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：第一步：求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为π2，此时切线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f′(x)．函数y＝f(x)在x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，那么()A．f′(x0)＝0B．f′(x0)0C．f′(x0)0D．f′(x0)不确定解析因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)0.解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H10－110t3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度