2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)0B．f′(x0)＝0C．f′(x0)0D．f′(x0)不存在解析根据导数的几何意义f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点x0处切线的斜率，由于切线斜率k＝－20，所以f′(x0)0.解析答案C答案2．已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°解析因为y＝12x2－2，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋12Δx＝x，所以过点P的切线的斜率为1，所以过点P的切线的倾斜角为45°.解析答案B答案3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A．(1,1)B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(2,8)或(－2，－8)答案C答案解析因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．解析4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析由导数定义可得y′＝2x.∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，∴y′＝2x＝2，∴x＝1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.解析答案D答案5．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是()A．0f′(2)f′(3)f′(4)B．0f′(3)f′(4)f′(2)C．0f′(4)f′(3)f′(2)D．0f′(2)f′(4)f′(3)答案C答案解析由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2,3,4处的切线的斜率逐渐减小，所以f′(2)f′(3)f′(4)，故选C．解析6．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为()A．3B．－3C．5D．－5解析注意点(1,3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝limΔx→0x＋Δx3＋ax＋Δx＋b－x3＋ax＋bΔx＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1,3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1,3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3，故选A．解析答案A答案二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________.解析由题意，f′(4)＝－2，f(4)＝－2×4＋9＝1，因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.解析答案－1答案8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.解析limΔx→0a1＋Δx2－aΔx＝limΔx→0(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1.又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.解析答案2答案9．y＝f(x)，y＝g(x)，y＝α(x)的图象如图所示：而如图是其对应导数的图象：则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．答案BCA答案解析由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B．y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C．y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A．解析三、解答题10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解设曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处的斜率为k，则k＝y′|x＝1＝limΔx→031＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式得l的方程为y－2＝2(x＋1)，化为一般式为2x－y＋4＝0，所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案B级：能力提升练11．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．解因为ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝a1＋Δx＋1a1＋Δx＋b－a＋1a＋bΔx＝a21＋Δx－1a1＋Δx，答案所以limΔx→0a21＋Δx－1a1＋Δx＝a2－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不符合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.答案12．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形面积．解(1)y′|x＝1＝limΔx→01＋Δx2＋1＋Δx－2－12＋1－2Δx＝3，所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.答案设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝limΔx→0b＋Δx2＋b＋Δx－2－b2＋b－2Δx＝2b＋1，所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为y＝－13x－229.答案(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，即l1与l2的交点坐标为16，－52，l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，－223，0，所以所求三角形面积S＝12×－52×1＋223＝12512.答案