2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析∵x0＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.解析答案B答案2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－2解析ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－32＝－1.解析答案B答案3．一质点运动的方程为s(t)＝5－3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3m/sB．3m/sC．6m/sD．－6m/s解析当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度为－6m/s.解析答案D答案4．函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f13Δx等于()A．f′(1)B．不存在C．13f′(1)D．以上都不对解析limΔx→0f1＋Δx－f13Δx＝13×limΔx→0f1＋Δx－f11＋Δx－1＝13f′(1)．解析答案C答案5．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的瞬时速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t20解析Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.解析答案C答案6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不确定答案D答案解析∵y＝f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx＝k1，又∵y＝f(x)＝x2在x0－Δx到x0之间的平均变化率为ΔyΔx＝fx0－fx0－ΔxΔx＝x20－x0－Δx2Δx＝2x0－Δx＝k2，又∵k1－k2＝2Δx，而Δx的符号不能确定，故k1，k2大小不确定，选D．解析二、填空题7．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.解析f(x)在[1,8]上的平均变化率为f8－f18－1＝8a＋b－a－b7＝a＝3.解析答案3答案8．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.解析∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t20＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1.解析答案1答案9．已知函数y＝f(x)＝1x，则f′(1)＝________.解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.解析答案－12答案三、解答题10．若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．解根据导数的定义：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)]－(2x20＋4x0)＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，∴f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02Δx2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝limΔx→0(2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.∴f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.答案B级：能力提升练11．航天飞机发射后的一段时间内，第ts时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)分别表示什么；(2)求第1s内高度的平均变化率；(3)求第1s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．解(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1s后的高度．(2)ΔhΔt＝h1－h01－0＝80(m/s)，即第1s内高度的平均变化率为80m/s.(3)h′(1)＝limΔt→0ΔhΔt＝limΔt→0h1＋Δt－h1Δt＝limΔt→0[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，即第1s末高度的瞬时变化率为120m/s.它说明在第1s末附近，航天飞机的高度大约以120m/s的速度增加．答案12．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解根据导数的定义，得f′(100)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f100＋Δx－f100Δx＝limΔx→0100＋Δx＋100＋Δx＋3－100＋100＋310Δx答案＝limΔx→0110＋100＋Δx－1010Δx＝limΔx→0110＋110×100＋Δx＋10＝110＋110×10＋10＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元．答案