2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语章末归纳整合课件 新人教A版选修2-1

章末归纳整合【知识构建】专题一命题及其关系原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系：(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．因此，证明原命题也可以证明它的逆否命题．(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．【思想方法专题】【例1】判断下列命题的真假．(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若0x5，则|x－2|3”的否命题与逆否命题；(3)“a，b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．解：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”是假命题，故其逆否命题为假．逆命题为“若x∈B，则x∈A∪B”，为真命题．(2)∵0x5，∴－2x－23，∴0≤|x－2|3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.例如当x＝－12，－12－2＝523.故否命题为假．(3)原命题“a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0”为真命题，故其逆否命题为真命题．逆命题“a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b”为真命题．否命题“a，b为非零向量，a不垂直b⇒a·b≠0”也为真命题．变式训练1.已知命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若x＞y，则ax＞by.写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别证明它们的真假．【解析】逆命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若ax＞by，则x＞y，此命题为假．取a＝3，b＝1，x＝2，y＝4，则满足a＞b＞0，x＞0，y＞0，ax＞by，但x＜y.否命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若x≤y，则ax≤by.此命题为假．因为它的真假性与逆命题的真假性相同，逆命题为假，所以否命题为假．逆否命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若ax≤by，则x≤y，此命题为真．假设x＞y，∵x＞y＞0，a＞b＞0，∴ax＞by，这与ax≤by矛盾．∴x≤y成立．专题二充分条件与必要条件有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．判断充分条件和必要条件的方法有：①定义法；②等价法；③集合法；④传递性法．【例2】(1)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋cb＋d，q：ab且cdB．p：a1，b1，q：f(x)＝ax－b(a0且a≠1)的图象不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a1，q：f(x)＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】B选项中，当b＝1，a1时，q推不出p成立，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，不能够推出p成立，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p，q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.【答案】A(2)不等式(2x＋5)2≥49成立的一个必要不充分条件是()A．x≤－6B．x≤－6或x≥1C．－6≤x≤1D．x0或x0【解析】不等式(2x＋5)2≥49的解集为M＝{x|x≤－6或x≥1}．由题意，知M作为结论，寻求一个必要不充分条件，则看M⇒？，即M？，由选项可知M{x|x0或x0}.故选D.【答案】D变式训练2.关于x的方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a0B．a0C．a－1D．a1【答案】C【解析】ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a＜0且Δ＝4－4a＞0，即a＜0.而a＜0的一个充分不必要条件是a＜－1.故选C.专题三全称命题与特称命题全称命题与特称命题真假的判定及含一个量词的命题的否定是高考的另一个重点，多以客观题为主．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只须举出一个反例即可．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可．否则，这一特称命题为假．【例3】在下列四个命题中，真命题的个数是()①∀x∈R，x2＋x＋30；②∃x0∈Q，13x20＋12x0＋1不是有理数；③∃α0，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0；④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.A．1B．2C．3D．4【解析】①中x2＋x＋3＝x＋122＋114≥1140，故①是真命题．②中x∈Q，13x2＋12x＋1一定是有理数，故②是假命题．③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sinα＋sinβ＝0，故③是真命题．④中x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④是真命题．【答案】C变式训练3.下列命题中的真命题是()A．∀x∈R，x2＞0B．∀x∈R，x＋1x≥2C．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2D．∃x0∈R，lnx0＞12x0【答案】D【解析】对于A选项，当x＝0时，x2＝0，∴A选项为假命题；对于B选项，当x＝－1时，x＋1x＝－2，∴B选项为假命题；对于C选项，∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2＜2，∴C选项为假命题；对于D选项，当x0＝e时，lne＝1，12e＜1，满足条件，∴D选项为真命题．故选D.从近几年高考信息统计可以看出，命题是高考的考查热点之一，考查时题型以选择题、填空题为主，重点考查充分条件与必要条件、全称命题与特称命题．【解读高考】1．(2016年浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2【答案】D【解析】“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”，“n≥x2”的否定是“nx2”，∴命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2”．故选D．2．(2018年天津)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“x－12＜12”得0＜x＜1，则0x3＜1，即“x－12＜12”⇒“x3＜1”；由“x3＜1”得x＜1，当x≤0时，x－12≥12，即“x3＜1”⇒/“x－12＜12”．所以“x－12＜12”是“x3＜1”的充分不必要条件．故选A．3．(2018年北京)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B．4．(2017年山东)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(￢q)C．(￢p)∧qD．(￢p)∧(￢q)【答案】B【解析】对于命题p，当x＝0时，x2－x＋1≥0成立，故p为真命题．对于命题q，当a＝1，b＝－2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故q为假命题．故命题p∧q，(￢p)∧q，(￢p)∧(￢q)均为假命题；命题p∧(￢q)为真命题，故选B．